双分支Kruskal算法浅谈
如何在许多路径中选择成本最低的路径是人们经常遇到的问题。例如，建立一个通信网络或者一条管道，工程上常常需要合理的设计使得成本最低，这类问题可以归结为最小成本生成树的问题。它是图在数据结构中的重要应用。
在解决最小生成树问题时，如何以简洁且快速的方式解决这个问题是一个非常流行的议题，这对实际应用和经济意义重大。获取生成树是从一个成本无向图中选择n-1条边，使得该图仍然连通，并同时考虑生成树的最小成本。Prim算法和Kruskal算法是最小成本生成树算法中的经典算法。
传统的prim算法虽然能够用于最小生成树的求解，但是也存在明显的缺陷：对于大规模图的求解效率较低，Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是顶点的数量。当图的规模较大时，Prim算法的执行时间会显著增加，导致效率下降；对于稀疏图的空间开销较大，Prim算法使用邻接矩阵或邻接表来表示图的结构，对于稀疏图来说，邻接矩阵会占用大量的内存空间，而邻接表在查找操作时需要更多的时间；对于带有负权边的图不适用，Prim算法是基于贪心策略的，它每次选择与当前生成树相连的最小权重边，这样可能导致无法处理带有负权边的图。在存在负权边的情况下，Prim算法可能无法得到正确的最小生成树；对于非连通图需要额外处理，如果图是非连通的，Prim算法需要进行额外的处理才能找到所有连通分量的最小生成树。这增加了算法的复杂性和实现的难度。
为了避免上述缺陷，本文提出了双分支Kruskal算法。假设存在一个具有n个顶点的连通图G = {V, E}和一个没有顶点的非连通图T = {V, φ}。首先，将图G中所有边的成本作为一个数组A，选择一个成本K作为中间值，然后将数组A分成两部分。A1由所有成本小于中间值K的成本组成，A2由所有成本大于中间值K的成本组成。然后根据成本对应边的原则，分别得到与A1对应的边集E1和与A2对应的边集E2。
将顶点集合划分为n个等价类（等价类的总数n = E1 + E2），每个等价类包含一个顶点。
在图G1 = {V, E1}中，按照成本的升序处理每条边，如果一条边连接了两个不同的等价类，则将该边添加到T，并立即将这两个等价类合并为同一类。
重复执行前面的操作，直到考虑完E1中的每条边。此时，图G = {V, E}的等价类总数为1 + E2，然后再次处理图G2 = {V, E2}中的所有边E2。如果一条边连接了图G中两个不同等价类的顶点，则将该边添加到T，并立即将这两个等价类合并为同一等价类。
重复执行前面的操作，直到考虑完E2中的每条边。最后，此时图G = {V, E}的等价类总数为1，这样就得到了图G的最小成本生成树。下面将比较两种算法的时间复杂度。时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而变化的度量。它表示了算法所需执行的基本操作数量的增长率。通过对比两种算法的时间复杂度，能够得出两种算法优劣的比较结果。
对于经典的Kruskal算法，在解决过程中，建立最小堆时需要检测邻接矩阵，计算时间效率为O(n^2)。同时，进行x次堆插入操作，每次插入操作都需要调用堆调整算法，因此堆插入操作的时间效率为O(|E|log2|E|)。在构建最小成本生成树的过程中，需要调用堆输出操作x次，因此经典Kruskal算法解决最小成本生成树的时间复杂度为O(|E|log|E|)。
然后考虑改进的Kruskal算法的时间复杂度：在正常情况下（算法第一步中选择的值不是成本的最大或最小值），|E1|=e1，|E2|=e2，因此E1+E2=e。堆的初始构建的最大时间成本之和为(2e1-loge1-1)+(2e2-loge2-1)。重新构建堆的最大时间为e1loge1+e2loge2。此外，在第一步中两个子序列的时间开销为e。因此，在正常情况下，改进的Kruskal算法的最大总时间成本为BT1=e+e+2(e1-1)loge1+loge2-2(e2-1)。
两分支Kruskal算法是对经典Kruskal算法的改进，在与经典Kruskal算法进行比较时，它引入了一个中间值，并使用经典Kruskal算法进行两次操作。在极端情况下，与经典Kruskal算法相比，两分支Kruskal算法的分割步骤根据中间值可能变得无意义，这导致两分支Kruskal算法的时间复杂度大于经典Kruskal算法；但在正常情况下，两分支Kruskal算法的时间复杂度低于经典Kruskal算法。
