用高阶函数做抽象

以函数作为参数，或者以函数作为返回值，这类能操作函数的函数称为高阶函数

• 过程作为参数

  普通的求和：

def sum_naturals(n):
        total, k = , 
        while k <= n:
            total, k = total + k, k + 
        return total
           

对立方进行求和：

def sum_cubes(n):
        total, k = , 
        while k <= n:
            total, k = total + k*k*k, k + 
        return total
           

求和下列式子： 81∗3+85∗7+89∗11+...

def pi_sum(n):
        total, k = , 
        while k <= n:
            total, k = total +  / ((*k-) * (*k-)), k + 
        return total
           

三个过程共享着一种公共模式：

def <name>(n):
    total,k=,
    while k <= n:
        total,k = total + term(k),k+
    return total
           

定义求和过程

#求和过程
def sum_term(n,term)#term是一个过程
    total,k=,
    while k <= n:
        total,k = total + term(k),k+
    return total

#整数求和
def term_k(k):
    return k

#K^3求和
def term_k3(k):
    return k*k*k

#式子求和
def term_pi(k)
    return /（(*k-)*(*k-)）

def sum_pi(k)
    return sum_term(k,term_pi)

#调用过程
>>>sum_term(,term_k)
>>>
           

• 过程作为一般性方法

def square_root_update(x,a):
    return (x+ a/x)/


def cube_root_update(x,a):
    return ((*x)+a/(x*x))/

def improve(updata,close,guess=):
    while not close(guess):
        guess = updata(guess)
    return guess
def approx_eq(x,y,tolerance=):
    return abs(x-y) < tolerance
#求平方根
def square_root(a):
    def updata(x):
        return square_root_update(x,a)
    def close(x):
        return approx_eq(x*x,a)
    return improve(updata,close)
#求3次根
def cube_root(a):
    def updata(x):
        return cube_root_update(x,a)
    def close(x):
        return approx_eq(x*x*x,a)
    return improve(updata,close)
           

找到函数的不动点： f(x)=x,x称为f(x)的不动点 ，对于某些函数反复的应用

f(x),f(f(x))f(f(f(x))),....

直到值变化不大时，就可以找到它们的不动点

from math import *
def fixed_point(f,f_guess):
    def close_enough(x,y,tolerance=):
        return abs(x-y)< tolerance

    def try_guess(guess):
        next = f(guess)
        if close_enough(guess,next):
            return next
        else:
            return try_guess(next)
    return try_guess(f_guess)

注意return
           

可以将求平方根看成是一个不动点的问题，求 y2=x的变形y=x/y ,定义sqrt函数：

（使用 f(x)=x/y 会造成结果不收敛，不让猜测变化太剧烈，答案在y和x/y之间，将猜测值设置为 f(x)=y+x/y2 ,该公式只是 y2=x 的变形）

def sqrt(x):
    return fixed_point(lambda y:(y+x/y)/,)
           

将函数作为参数传递，能够增强程序设计语言的表达能力。对公共模式进行了抽象。

• 将函数作为返回值

  平均阻尼：给定一个函数f，考虑另一个函数，它在x处的值等于x和f（x）的平均值

#平均阻尼,传入某个函数，返回x和f（x）的平均值
def damp(f):
    return lambda x:(x+f(x))/
#改写sqrt,利用damp函数获取(y+x/y)/2
def sqrt(x):
    return fixed_point(damp(lambda y:x/y),)

#立方根不动点的函数是$y=x/y^2$,定义立方根函数为:
def sqrt(x):
    return fixed_point(damp(lambad y :x/(y*y)),)
           

牛顿法

导数的定义：

Dg(x)=g(x+dx)−g(x)dx

#导数的定义
dx = 
def deriv(g):
    return lambda x:(g(x+dx)-g(x))/dx

>>>deriv(lambda x:x*x*x)()
>>> 
           

如果g(x)是一个可微函数，那么方程根g(x)=0的解就是函数 f(x)=x−g(x)Dg(x) 的一个不动点

#牛顿转换
def newton_transform(g):
    return lambda x:x-g(x)/deriv(g)(x)
#牛顿法
def newton_method(g,guess):
    return fixed_point(newton_transform(g),guess)

#牛顿法求平方根，相当于求$g(y)=y^2-x$的g(y)=0的解
def sqrt(x):
    return newton_method(lambda y:y*y-x,)
           

抽象层次高代码越容易复用，需要一步一步的理解函数直接调用。