【信号与系统】DTFT离散时间傅里叶变换

DTFT离散时间傅里叶变换

文章目录

• DTFT离散时间傅里叶变换
• 基本公式
• 基本性质
• 卷积定理

基本公式

DTFT即为z平面单位圆上的z变换

得到的是在z平面单位圆上的连续函数

z平面自带周期性

序列在时域是离散的，在频域（ j ω j\omega jω轴）上表现出周期性

傅里叶级数中时域是周期的，所以频域是离散的

所以周期函数可以表示为不同（离散）频率波的叠加

z = e j ω   D T F T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n   逆 变 换 : I D T F T [ X ( e j ω ) ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω n d ω z=e^{j\omega}\\\ \\ \mathcal{DTFT}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}\\\ \\ 逆变换 :\mathcal{IDTFT}[X (e^{j\omega})]=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega z=ejω DTFT[x(n)]=n=−∞∑∞​x(n)e−jωn 逆变换:IDTFT[X(ejω)]=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωndω

基本性质

序号	解释
线性	a x ( n ) + b y ( n ) ↔ a X ( e j ω ) + b Y ( e j ω ) ax(n)+by(n)\leftrightarrow aX(e^{j\omega})+bY(e^{j\omega}) ax(n)+by(n)↔aX(ejω)+bY(ejω)
时移	D T F T [ x ( n + m ) ] = e j ω m X ( e j ω ) \mathcal{DTFT} [x(n+m)]=e^{j\omega m}X(e^{j\omega}) DTFT[x(n+m)]=ejωmX(ejω)
频移	左 位 移 ： D T F T [ x ( n ) e j ω 0 n ] = X ( e j ( ω − ω 0 ) ) 左位移：\mathcal{DTFT}[x(n)e^{j\omega_0 n}]=X(e^{j(\omega-\omega_0)}) 左位移：DTFT[x(n)ejω0​n]=X(ej(ω−ω0​))
序列线性加权(微分)	n x ( n ) ↔ j d d ω X ( e j ω ) nx(n)\leftrightarrow j\frac d {d\omega}X(e^{j\omega}) nx(n)↔jdωd​X(ejω)
序列反褶	x ( − n ) ↔ X ( e − j ω ） x(-n)\leftrightarrow X(e^{-j\omega}） x(−n)↔X(e−jω）
奇偶虚实性	x e ( n ) = 1 2 [ x ( n ) + x ( − n ) ] ; x o ( n ) = 1 2 [ x ( n ) − x ( − n ) ]   x e ( n ) ↔ R e [ X ( e j ω ) ] ; x o ( n ) ↔ j I m [ X ( e j ω ) ] x_e(n)=\frac 1 2[x(n)+x(-n)] ; x_o(n)=\frac 1 2[x(n)-x(-n)] \\\ \\ x_e(n)\leftrightarrow Re[X(e^{j\omega})] ; x_o(n)\leftrightarrow jIm[X(e^{j\omega})] xe​(n)=21​[x(n)+x(−n)];xo​(n)=21​[x(n)−x(−n)] xe​(n)↔Re[X(ejω)];xo​(n)↔jIm[X(ejω)]
帕塞瓦尔定理	∑ n = − ∞ ∞ ∥ x ( n ) ∥ 2 = 1 2 π ∫ − π π ∥ X ( e j ω ) ∥ 2 d ω \sum_{n=-\infty}^{\infty}\|x(n)\|^2=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi \|X(e^{j\omega})\|^2d\omega n=−∞∑∞​∥x(n)∥2=2π1​∫−ππ​∥X(ejω)∥2dω

卷积定理

D T F T [ x ( n ) ∗ h ( n ) ] = X ( e j ω ) ⋅ H ( e j ω )   D T F T [ x ( n ) h ( n ) ] = 1 2 π X ( e j ω ) ∗ H ( e j ω )   \mathcal{DTFT} [x(n)*h(n)]=X(e^{j\omega})\cdot H(e^{j\omega})\\\ \\ \mathcal{DTFT} [x(n)h(n)]=\frac 1 {2\pi}X(e^{j\omega})*H(e^{j\omega})\\\ \\ DTFT[x(n)∗h(n)]=X(ejω)⋅H(ejω) DTFT[x(n)h(n)]=2π1​X(ejω)∗H(ejω)