第二型曲线积分
1.直接带入求解：
例如求解： ∫ y d x + x d y \int{ydx}+{xdy} ∫ydx+xdy，L为圆周x=Rcos t,y=Rsin t 上从0到 π \pi π/2
我们直接带入求解：
∫ R s i n t d ( R c o s t ) + R c o s t d ( R s i n t ) \int{Rsin td(Rcos t)}+{Rcostd(Rsint)} ∫Rsintd(Rcost)+Rcostd(Rsint)
我们就能把dx dy的积分换为dt
就是R2 ∫ ( − s i n 2 t + c o s 2 t ) d t \int{( -sin^2 t+cos^2t)dt} ∫(−sin2t+cos2t)dt
带入即可得到答案:
2.闭合曲线求解：
格林公式： ∮ \oint ∮Pdx+Qdy= ∬ \iint ∬( ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂x - ∂ \partial ∂P/ ∂ \partial ∂y)
（逆时针为正向，顺时针为逆向）
逆向取-
题型1：直接让你求闭合曲线，直接套公式不讲了。
题型2：不封闭，需要补线的题目。
∫ ( x 2 − 2 y ) d x + ( 3 x + y e y ) d y \int{(x^2 - 2y)dx}+{(3x+ye^y)dy} ∫(x2−2y)dx+(3x+yey)dy 由直线x+y=1位于第一象限的线段以及圆弧x2+ y2 = 1 位于第二象限的部分组成
我们把图像画出来后可以发现两条线段不闭合，我们补一条线就可以了，最后答案就是我们补线后的封闭图形再减去补过的那条线即可。
(小技巧，一般题目求出来的二重积分里面是一个常数，答案就是常数*(封闭空间面积))
比如这题的封闭曲线的二重积分为 ∬ \iint ∬ 5dxdy 我们用5*( π \pi π/4+1/2)
最后再减去补的那条线最后答案为5 π \pi π/4 + 11/6
题型3：路径无关
当 ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂x == ∂ \partial ∂P/ ∂ \partial ∂y时路径无关成立
其实我们可以发现路径无关就是格林公式的一个特殊情况
路径无关成立后我们可以将折线的距离直接转化为直线。
比如L=AB->BC 路径无关后我们直接求AC
第二型曲面积分
1.直接带入求值：
三个参数，消元的原则就是求dxdy消z，dydz消x，dxdz消y。
如果时有dxdy+dydz+dxdz的情况就把他们拆开算。
然后就是取正负号还有取零的原则。。。。
大家直接背书上的前正后负，上正下负，右正左负也行。（有几率翻车）
给大家一个不会出错的不易理解，但较为好理解的方法（学渣，大佬请跳过）
消x时 我们从x轴出发向原点看去，如果看到的是一个面则取正
如果什么也看不见则取负
如果只能看见一个曲线那么取0
以此类推
如例题：
∬ \iint ∬ydzdx+xdxdy S为圆柱面x2+y2=1的前半个圆柱介于平面z=0及z=3之间的部分，取后侧。
我们先把图画出来。
然后分离。
∬ \iint ∬ydzdx+ ∬ \iint ∬xdxdy
后面这项，我们从z轴向原点望去发现是一个曲线所以直接把它干掉.
∬ \iint ∬ydzdx 消y，
我们从y轴望去，一个看得见，一个看不见，分别求就可以了。
答案是-3/2 * π \pi π
2.高斯公式：
和格林一样，高斯也可能要考虑补面，但一般不喜欢考补面，我们知道闭合曲面就可以了。如果真的考了，再按格林的思想算一下就行了，就不讲了。
∯ \oiint ∬
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∭ \iiint ∭( ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂y + ∂ \partial ∂P/ ∂ \partial ∂x+ ∂ \partial ∂R/ ∂ \partial ∂z)
看见闭合曲面直接套公式就可以了。
同理发现三重积分里面是常数直接求体积。
场论
直接背公式：
散度：divA= ∂ \partial ∂P/ ∂ \partial ∂x+ ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂y+ ∂ \partial ∂R/ ∂ \partial ∂z
旋度： i j k ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z P Q R \begin{matrix} i & j & k \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ P & Q & R \\ \end{matrix} i∂/∂xPj∂/∂yQk∂/∂zR
答案是rot A=( ∂ \partial ∂R/ ∂ \partial ∂y- ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂z)i+( ∂ \partial ∂P/ ∂ \partial ∂z- ∂ \partial ∂R/ ∂ \partial ∂x)j+( ∂ \partial ∂Q/ ∂ \partial ∂x- ∂ \partial ∂P ∂ \partial ∂y)k
旋度的答案是一个向量，散度的答案是一个值
//由于蒟蒻markdow不熟，求和公式没有给出范围,求和公式一般都是0->无穷大，当n取不到0时（分母n）n从1开始
判断级数的敛散性
1 正向级数
判断级数的敛散性：
lim ∑ u \sum {u} ∑u
根据敛散程度判断分为以下几步：1->2->3
- lim n → + ∞ u \lim_{n\rightarrow+\infty} u limn→+∞u如果不为0,则发散（发散程度较高），如果为0进一步判断。
- 考虑用比值法还是根值法，能开n次根号的用根值法，不能的用比值法。结果>1发散，<1收敛，=1继续判断。
-
比较判别法
小技巧1，看见等价无穷小，就直接找等价无穷小比。
小技巧2，我们一般要背两个级数的特性，跟它们去比。
级数1.等比数列，|q|<1,收敛于a/(1-q) |q|>=1，发散
级数2.调和级数形如：
lim ∑ 1 / n p \sum {1/n^p} ∑1/np p<=1发散 p>1收敛
遇到题目就把题目往这两个级数上面凑。
2 交错级数
判断级数的敛散性：
去掉（-1）n项
- 先判断 lim n → + ∞ u \lim_{n\rightarrow+\infty} u limn→+∞u 是否等于0如果为不为0发散，如果为0继续判断
- 再判断Un+1<=Un 即Un越来越小则收敛，反之则发散。
3 判断绝对收敛/条件收敛
正向级数：
若级数发散，则发散，若级数收敛，则绝对收敛。
交错级数：
若级数发散，则发散。
若级数收敛，则去掉（-1）n项变为正向级数进一步判断
如果正向级数收敛，为绝对收敛
如果正向级数发散，为条件收敛
幂级数
（别被泰勒，欧拉，傅里叶这些神仙吓到，老老实实背公式即可）
1 已知幂级数在某点收敛/发散，判断其在另一点的敛散性。
若级数
∑ a n ( x + b ) n \sum {a_n(x+b)^n} ∑an(x+b)n在x= x 0 x_0 x0( x 0 x_0 x0!=0)时收敛，则当|x+b|<| x 0 x_0 x0+b|时绝对收敛
若级数
∑ a n ( x + b ) n \sum {a_n(x+b)^n} ∑an(x+b)n在x= x 0 x_0 x0( x 0 x_0 x0!=0)时发散，则当|x+b|>| x 0 x_0 x0+b|时发散
意思就是一个点发散，比他大的点也发散。
一个点收敛比他小的点也收敛。
2 求幂级数的收敛域和收敛区间
区域1: | lim n → + ∞ u n + 1 / u n \lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n limn→+∞un+1/un |<1的区域
区域2:| lim n → + ∞ u n + 1 / u n \lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n limn→+∞un+1/un |=1，带入原级数收敛的值
算出x值带入原级数看收不收敛，若收敛则加入区域1，否则不加。
收敛域就是两个区域相加
3 收敛半径：
其实就是将| lim n → + ∞ u n + 1 / u n \lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n limn→+∞un+1/un |<1
转化为|x+ ? 1 ?_1 ?1|< ? 2 ?_2 ?2
? 2 ?_2 ?2就是收敛半径，非常简单就不细讲了。
注意x前面的系数和次数都要转化为1
4 求幂级数在收敛域内的和函数
若 u n u_n un项中的n被除在下面形如 ∑ x n / n \sum {x^n/n} ∑xn/n用这个公式：
令 v n = u n ′ v_n=u'_n vn=un′,s(x)=C+ ∫ v 1 1 − v n + 1 v n \int\frac{v_1}{1-\frac{v_{n+1}}{v_n}} ∫1−vnvn+1v1 //v1是指值第一项,C可以令s(x=0)=0求得
若 u n u_n un项中的n被除在下面形如 ∑ n ∗ x n \sum {n*x^n} ∑n∗xn用这个公式：
令 v n = ∫ u n v_n=\int u_n vn=∫un,s(x)= ( v 1 1 − v n + 1 v n ) ′ (\frac{v_1}{1-\frac{v_{n+1}}{v_n}})' (1−vnvn+1v1)′ //v1是指值第一项
//记住如果出题老师贼，求导或者积分求不出想要的 v n v_n vn（ v n v_n vn中没有n被乘或除），就想办法凑，这个就各凭本事了。
5.幂级数展开(泰勒公式)：
| 公式 | 条件 |
|---|---|
| e a = ∑ 1 n ! a n e^a=\sum {\frac{1}{n!}}a^n ea=∑n!1an | 无 |
| s i n a = ∑ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! a 2 k + 1 sina=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1} sina=∑(2k+1)!(−1)ka2k+1 | 无 |
| c o s a = ∑ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! a 2 k cosa=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k} cosa=∑(2k)!(−1)ka2k | 无 |
| l n ( a + 1 ) = ∑ ( − 1 ) n − 1 ( 2 k ) ! a 2 k ln(a+1)=\sum {\frac{(-1)^{n-1}}{(2k)!}}a^{2k} ln(a+1)=∑(2k)!(−1)n−1a2k | -1<a<=1 |
| 1 1 + a = ∑ （ − 1 ） n ∗ a n \frac{1}{1+a}=\sum（-1）^n*a^n 1+a1=∑（−1）n∗an | ∥ a ∥ < 1 {\|a\|<1} ∥a∥<1 a里面是绝对值,不要在意 |
| 1 1 − a = ∑ a n \frac{1}{1-a}=\sum a^n 1−a1=∑an | ∥ a ∥ < 1 {\|a\|<1} ∥a∥<1 a里面是绝对值,不要在意 |
记住上列公式，一般题型：
将 s i n x sinx sinx展开成 x − π 4 x-\frac{\pi}{4} x−4π:
第一步设a= x − π 4 x-\frac{\pi}{4} x−4π
第二步带公式
第三步把a替换为x
搞定
我们给大家做一遍:
设a= x − π 4 , x = a + π 4 x-\frac{\pi}{4},x=a+\frac{\pi}{4} x−4π,x=a+4π
代入得 s i n ( a + π 4 ) sin(a+\frac{\pi}{4}) sin(a+4π)
拆解： 2 2 s i n a + 2 2 c o s a \frac{\sqrt{2}}{2}sina+\frac{\sqrt{2}}{2}cosa 22
sina+22
cosa
我们知道sina和cosa的公式：
s i n a = ∑ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! a 2 k + 1 sina=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1} sina=∑(2k+1)!(−1)ka2k+1
c o s a = ∑ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! a 2 k cosa=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k} cosa=∑(2k)!(−1)ka2k
相加得
sin(a+ π 4 \frac{\pi}{4} 4π)= 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22
( ∑ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! a 2 k + 1 \sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1} ∑(2k+1)!(−1)ka2k+1+ ∑ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! a 2 k \sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k} ∑(2k)!(−1)ka2k)
最后我们把x换回去
sin(x)= 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 22
( ∑ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( x − π 4 ) 2 k + 1 \sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}(x-\frac{\pi}{4})^{2k+1} ∑(2k+1)!(−1)k(x−4π)2k+1+ ∑ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! ( x − π 4 ) 2 k \sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}(x-\frac{\pi}{4})^{2k} ∑(2k)!(−1)k(x−4π)2k)
考试的时候写成这样就可以满意了
强迫症就再合并一下
蒟蒻我就不合并了太烦了
6 傅里叶级数(个人认为最难的)
题型1. 将下列周期为2 π \pi π的函数f(x)展开成傅里叶级数，其中f(x)展开成傅里叶级数，其中f(x)在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上的表达式:
如题：设f(x)是以 2 π 2\pi 2π为周期的周期函数，它在区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上的表达式为
f(x)=-1 ( − π , 0 ] (-\pi,0] (−π,0]
= x 2 ( 0 , π ] x^2 (0,\pi] x2(0,π]
试写出f(x)在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上傅里叶级数的和函数S(x)
记住几个求这题的性质：
- x为连续点时，级数收敛于f(x);
-
当x为间断点时，级数收敛于（左极限+右极限）/2，特别的，x=± π \pi π，极限收敛于 ( f ( π ) + f ( π ) ) / 2 (f(\pi)+f(\pi))/2 (f(π)+f(π))/2
我们给大家做一下这题：
先写x=± π \pi π，代入就可以了
S(x)= π 2 − 1 2 \frac{\pi^2-1}{2} 2π2−1
再写x= ( − π , 0 ) (-\pi,0) (−π,0) ( 0 , π ) (0,\pi) (0,π)，收敛于f（x），该写多少就写多少，照抄下来。
分别时
S(x)=-1
S(x)=x2
最后x=0时
求得（-1+0）/2= -1/2
最后整合答案即可
题型2.f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数，它在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [−π,π)
f(x)= x [ π , 0 \pi,0 π,0)
0 [0, π \pi π)
把f(x)展开成傅里叶级数。
我们记一下这几个公式：
a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x){\rm d}x a0=π1∫−ππf(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x a_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x)cos{nx} {\rm d}x an=π1∫−ππf(x)cosnxdx
b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x b_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x)sin{nx} {\rm d}x bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
f(x)= a 0 / 2 + ∑ ( a n c o s ( n x ) + b n s i n ( n x ) ) a_0/2 + \sum(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) a0/2+∑(ancos(nx)+bnsin(nx))
把 a 0 , a n , b n a_0,a_n,b_n a0,an,bn都求出来带入f（x），我们即可得到答案。
![多属性决策模型详解（matlab）[图]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)