问题描述
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
输入格式
输入数据包含一行,两个正整数 n m,含义见题目描述。
输出格式
输出一个正整数,表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
对于10%的数据,n、m <= 10^3;
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。
题解:
这是一个数学题,数据太大,明显不能瞎搞。肯定要推公式啊,或者找规律。
因为如果一个硬币在第二行,那么它可能被第一行和第二行…..等的硬币翻转。
我们扩展一下,如果一个硬币在第 x 行,那么它可能被第一行的硬币翻转的,其中y是 x 的约数。
我们把矩阵变成01矩阵。
0是正面,1是反面。
0&1=0.
1&1=1.
那么正反面问题就变成了一个奇偶性问题。
用f(x) 表示约数个数。
那么对答案的贡献为:
ans=∑nx=1∑my=1(f(x)∗f(y)) &1
这个式子对 101000 显然也是不行的….
那么就再化简啊!
根据约数个数定理,对于一个数 n ,可分解成若干质数幂次的乘积.
n=prime[1]a∗prime[2]b∗.....
f(n)=(a+1)∗(b+1)∗......
其中, f(n) 为 n 的约数个数。
因为奇偶性问题,所以每一项(a+1), (b+1) , (c+1) …..都是奇数。
所以 a ,b, c ….这些都是偶数。
那么n也是偶数啊。
那么对答案的贡献就变成:
ans=n√∗m−−√
上式对于 101000 来说,套个大数开根模板就好了。
代码:
//大数乘法
//大数比较
//大数开根
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=;
string s1,s2; //n,m;
int len1,len2; //记录开根号后大数的位数;
int sqrtA[],sqrtB[];
int a[];
int temp[],ans[];
int Compare(int a[],int b[],int len1,int len2) //大数比较大小
{
if(len1>len2) return ;
else if(len1<len2) return -;
for(int i=len1-;i>=;i--){
if(a[i]>b[i]) return ;
else if(a[i]<b[i]) return -;
}
return ;
}
//计算sqrtA[]*sqrtB[],len1,len2分别为sqrtA,sqrtB的长度
//返回结果位数;
int Mul(int ans[],int A[],int B[],int len1,int len2)
{
for(int i=;i<=;i++) ans[i]=; //对于传址ans,用memset没法初始化;
for(int i=;i<len1;i++)
for(int j=;j<len2;j++)
ans[i+j]+=A[i]*B[j];
for(int i=;i<len1+len2;i++){
ans[i+]+=ans[i]/;
ans[i]%=;
}
int i;
for(i=len1+len2;i>=;i--)
if(ans[i]) break;
return i+;
}
//将s开根号,保存在a中,并且返回开根号后a的位数;
int sqrtNum(int *A,string s)
{
memset(A,,sizeof(A));
int len=s.size();
int Len=len/;
if(len%) Len+=;
memset(a,,sizeof(a));
for(int i=,j=s.size()-;i<s.size();i++,j--) //顺序翻转;
a[j]=s[i]-'0';
for(int i=Len-;i>=;i--){ //从最高位开始试;
int flag;
memset(temp,,sizeof(temp));
int lenMul=;
while((flag=Compare(temp,a,lenMul,len))==-){
A[i]++;
lenMul=Mul(temp,A,A,Len,Len);
}
if(flag==) break;
else if(flag==) A[i]--;
}
return Len;
}
int main()
{
memset(sqrtA,,sizeof(sqrtA));
memset(sqrtB,,sizeof(sqrtB));
cin>>s1>>s2;
len1=sqrtNum(sqrtA,s1);
len2=sqrtNum(sqrtB,s2);
int len=Mul(ans,sqrtA,sqrtB,len1,len2);
for(int i=len-;i>=;i--) cout<<ans[i];
cout<<endl;
return ;
}