平衡二叉树 AVL

平衡二叉树 AVL

先弄清楚几个概念：

1）满二叉树：除了叶子节点，都是满的；

2）完全二叉树：整体而言，空缺的节点一定是位于树的右下方；整棵树的叶子节点最大深度值和最小深度值，相差不会超过1；

3）平衡二叉树：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1。

1 平衡因子

通过

平衡因子

可以判断出是否为平衡二叉树，这决定了是否需要进行左旋转或右旋转操作。

第一步，标注节点的高度；节点的高度=其左右子节点的最大高度值+1；叶子节点的高度为1。

第二步，平衡因子=左右子节点的高度之差。

从上图中可以看到8,、12节点，平衡因子>1，导致了不平衡。

标注节点高度和平衡因子的实现：

//返回高度值
int getHeight(AVLNode<K,V> *node){
	if(node== nullptr)
	    return 0;
    return node->height;//节点高度作为成员变量，初始值为1
}

//获得节点node的平衡因子
int getBalanceFactor(AVLNode<K,V> *node){
	if(node==nullptr)
    	return 0;
    return getHeight(node->left)-getHeight(node->right);//左右子树高度之差
}
           

判断一棵树的平衡性：

//判断是否是一颗平衡二叉树，自顶向下遍历，递归算法
bool isBalanced(AVLNode<K,V> *node){
	if(node==nullptr)
	    return true;
    int balanceFactor=getBalanceFactor(node);
    if(std::abs(balanceFactor)>1)//平衡因子>1
        return false;
    return isBalanced(node->left)&&isBalanced(node->right);//左右子树同时满足
}
           

2 维护平衡操作

维护的时机：

二叉树添加一个元素，一定是插入到一个叶子节点。由于新添加了一个节点，才有可能导致树失去平衡性。相应地，这个不平衡的节点只有可能发生从插入的这个位置节点向父亲去找。

加入节点后，沿着节点向上维护平衡性。

2.1 右旋转（以x为旋转点）

右旋转的实现：

//右旋转
AVLNode<K,V> *rightRotate(AVLNode<K,V> *y){
	AVLNode<K,V> *x=y->left;//x是谁？是y的左子树
    AVLNode<K,V> *T3=x->right;//暂存T3，因为后面要把它接到y节点，作为左子树
    //向右旋转
    x->right=y;
    y->left=T3;
    //更新height，先更新y的高度值，因为x是基于y来计算的
    y->height=std::max(getHeight(y->left),getHeight(y->right))+1;
    x->height=std::max(getHeight(x->left),getHeight(x->right))+1;

    return x;
}
           

2.2 左旋转（以x为旋转点）

左旋转的实现：

AVLNode<K,V> *leftRotate(AVLNode<K,V> *y){
    AVLNode<K,V> *x=y->right;
    AVLNode<K,V> *T3=x->left;
    //向左旋转
    x->left=y;
    y->right=T3;
    //更新height
    y->height=std::max(getHeight(y->left),getHeight(y->right))+1;
    x->height=std::max(getHeight(x->left),getHeight(x->right))+1;

    return x;
}
           

2.3 添加元素在不平衡节点的左侧的右侧

前面实现的左旋转和右旋转，如果新添加的节点位于不平衡节点的左侧的左侧，就是LL；如果新添加的节点位于不平衡节点的右侧的右侧，就是RR；

如果新添加的节点位于不平衡节点的左侧的右侧，就是LR；

以x进行左旋转；

如果新添加的节点位于不平衡节点的右侧的左侧，就是RL；

以x进行右旋转；

平衡性维护实现：

if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(node->left)>=0)
    return rightRotate(node);
//RR
if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(node->right)<=0)
    return leftRotate(node);
//LR
if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(node->left)<0){
    node->left=leftRotate(node->left);
    return rightRotate(node);
}
//RL
if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(node->right)>0){
    node->right=rightRotate(node->right);
    return leftRotate(node);
}
           

AVL添加操作实现：

AVLNode<K,V> *add(AVLNode<K,V> *node,K key,V value){
    if(node== nullptr){
        size++;
        return new AVLNode<K,V>(key,value);
    }
    if(key==node->key){
        node->value=value;
    } else if(key<node->key){
        node->left=add(node->left,key,value);
    }else {
        node->right=add(node->right,key,value);
    }
    //更新height
    node->height=1+std::max(getHeight(node->left),getHeight(node->right));
    //计算平衡因子
    int balanceFactor =getBalanceFactor(node);
    //平衡维护
    //LL
    if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(node->left)>=0)
        return rightRotate(node);
    //RR
    if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(node->right)<=0)
        return leftRotate(node);
    //LR
    if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(node->left)<0){
        node->left=leftRotate(node->left);
        return rightRotate(node);
    }
    //RL
    if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(node->right)>0){
        node->right=rightRotate(node->right);
        return leftRotate(node);
    }

    return node;
}
           

AVL删除操作实现：

// 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
AVLNode<K,V> *remove(AVLNode<K,V> *node, K key) {
    if (node == nullptr) {
        return nullptr;
    }

    AVLNode<K,V> *retNode=nullptr;
    if (key < node->key) {
        node->left = remove(node->left, key);
        retNode=node;
    } else if (key > node->key) {
        node->right = remove(node->right, key);
        retNode= node;
    } else {
        if (node->left == nullptr) {
            AVLNode<K,V> *rightNode = node->right;
            delete node;
            size--;
            retNode= rightNode;
        }

        else if (node->right == nullptr) {
            AVLNode<K,V> *leftNode = node->left;
            delete node;
            size--;
            retNode= leftNode;
        }
        else{
            AVLNode<K,V> *successor = new AVLNode<K,V>(minimum(node->right));
            //Node *precursor = new Node(maximum(node->right));
            size++;
            successor->right = remove(node->right,successor->key);
            successor->left = node->left;
            //precursor->left = removeMax(node->left);
            //precursor->right = node->right;

            delete node;
            size--;

            retNode= successor;
            //return precursor;
        }
    }
    if(retNode== nullptr)
        return nullptr;
    //更新height
    retNode->height=1+std::max(getHeight(retNode->left),getHeight(retNode->right));
    //计算平衡因子
    int balanceFactor =getBalanceFactor(retNode);
    //平衡维护
    //LL
    if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(retNode->left)>=0)
        return rightRotate(retNode);
    //RR
    if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(retNode->right)<=0)
        return leftRotate(retNode);
    //LR
    if(balanceFactor>1 && getBalanceFactor(retNode->left)<0){
        retNode->left=leftRotate(retNode->left);
        return rightRotate(retNode);
    }
    //RL
    if(balanceFactor<-1 && getBalanceFactor(retNode->right)>0){
        retNode->right=rightRotate(retNode->right);
        return leftRotate(retNode);
    }
    return retNode;
}