注：本文中所有公式和思路来自于邹博先生的《机器学习升级版》，我只是为了加深记忆和理解写的本文。
马尔科夫模型
说到MCMC(Markov Chain Monte Carlo )，就必须要提一下MC(Markov Chain)模型，我们可以这么描述MC模型：
描述：考虑某随机过程Π，它有n个状态，记第t时刻处于第i状态，它在t+1时刻的状态位于状态j的概率为P(i, j) = P(j | i):即状态转移概率只依赖前一个状态，如下图所示：
马尔科夫随机过程的平稳分布
马尔科夫平稳分布：初始概率不同，但是经过若干次迭代，Π最终收敛在某个分布上
另外，如果一个非周期的马尔科夫随机过程具有转移概率矩阵P，并且它的任意两个状态之间都是连通的，则：
上图中的两种写法实际上是等价的，若概率分布πP=π，则可以说明：多项分布π是状态转移矩阵P的平稳分布。另外从数学的角度看xP=x这个方程的非负解为π，因为P唯一，所以π为方程的唯一非负解，说白了就是无论初值给成什么样，肯定会收敛于唯一的分布，只是收敛速度(迭代次数)会有不同。
细致平稳条件
从未定分布满足πP=π可知，如果非周期马尔科夫随机过程的状态转移矩阵P和分布π(x)满足：
则π(x)是马尔科夫随机过程的平稳条件，又被称为细致平稳条件，公式中的P(i,j)是矩阵中的第i行第j列，所表达的含义就是前一个状态为i时，后一个状态为j的概率：即P(j|i)，仅此而已。
这里边的"细致"可以理解为对于任意两个状态i，j，从i转移到j的概率和从j转移到i的概率相等，也就是说每一状态都是平稳的。
那么细致平稳条件和平稳分布有什么关系呢？
根据马尔科夫过程的定义：
根据细致平稳条件：
从而得到：
完美！得到这么一致的结论是不是特别的爽！！！
设定接受率：
假设当前的马尔科夫过程的转移矩阵的为Q，对于给定的分布p，一般来说：
既然是这样，我们可以加入α因子，是的上式满足细致平稳条件：
满足因子的α有很多，根据对称性，可以取：
根据接受率α改造转移矩阵Q：
MCMC：Metropolis-Hastings算法：
根据需要满足的细致平稳条件：
若令α(j,i)=1，则有：
从而的到接受率：
将接受率设置为恒小于1，从而有：
公式化的介绍纠说这么多，接下里解释一下这个算法：
(1): 初始化马尔科夫随机过程初始状态为I=i0
(2): 对t=1,2,3...
(a):第t个时刻马尔科夫过程初始状态为it，采样q=q(j|it)
(b):从均匀分布中采样u∈[0,1]
(c):如果:
则接收状态j，即it+1=j，否则不接受j，it+1=i
从(2)(c)步骤中可以看得出，MCMC还是有一定的拒绝率，而且α越小，拒绝率越高，那么我们如何改进呢？且听下回分解。