二元函数
定义：设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y)\in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为
$$
z=f(x,y)
$$
其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量，函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$
通常情况下，二元函数$z=f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面
二元函数的极限
定义：设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)\in D$或为$D$的边界点，如果$\forall \xi>0$，存在$\xi>0$，当$P(x,y)\in D$，且$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\xi$时，都有
$$
|f(x,y)-A|<\xi
$$
成立，则称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时的极限，记为
$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A或\lim_{\substack{x\to x_0\y\to y_0}}f(x,y)=A或\lim_{P\to P_0}f(P)=A
$$
注：
- 这里的极限是要求点$(x,y)$在$D$内以任意方式趋近于点$(x_{0},y_{0})$时，函数$f(x,y)$都趋近于同一确定的常数$A$，否则该极限不存在
当一元的时候，$x$趋近于$x_{0}$只能沿着$x$轴趋向于$x_{0}$，可以左边趋向、右边趋向、两边同时趋向
但是对于多元的时候，是要求$(x,y)$以任意方式趋向$(x_{0},y_{0})$。明显的，过$(x_{0},y_{0})$的直线有无穷多条，而且是任意方式，$(x,y)$还可以沿着曲线趋向$(x_{0},y_{0})$，沿着离散点趋向$(x_{0},y_{0})$。即如果按照任意方式趋向于$(x_{0},y_{0})$如果极限不存在，那么极限就不存在
- 一元函数极限中的下列性质对多元函数仍然成立：
- 局部有界性：若$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_{0}$某去心邻域有界（即局部有界）
- 保号性：设$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A>0$，如果$A>0$（或$A<0$），则存在$\delta>0$，当$x\in \mathring U(x_{0},\delta)$时，$f(x)>0$（或$f(x)<0$）
- 有理运算法则：若$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么
- $\lim (f(x)\pm g(x))=\lim f(x)\pm \lim g(x)$
- $\lim(f(x)\cdot g(x))=\lim f(x)\cdot \lim g(x)$
- $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\quad(B\ne0)$
- 极限与无穷小的关系：$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$，其中$\lim \alpha(x)=0$
- 夹逼定理：若存在$N$，当$n>N$时，$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$，且$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\to \infty}z_{n}=a$，则$\lim\limits_{n\to \infty}y_{n}=a$
多元函数没有洛必达法则
例1：求极限$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to0\y\to0}}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\end{aligned}$
对于$\frac{0}{0}$初步判断，如果上面次数高极限为$0$，如果下面次数高极限为无穷，如果上下次数一样极限不存在
$$
0 \leq \left|\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\leq |x|\to 0
$$
因此极限为$0$
初步判断后如果判断为$0$，常用方法为取绝对值，用夹逼
此处需要条件
$$f(x)\to 0 \Leftrightarrow |f(x)| \to 0$$
用极限的定义可以证明，
对于$x\to x_{0},f(x)\to0$，有$\forall \xi >0,\exists \delta$，当$0<|x-x_{0}|<\delta$时,有
$$\begin{aligned}|f(x)-0|&< \xi \|f(x)|&< \xi \end{aligned}$$
对于$x\to x_{0},|f(x)|\to0$，有$\forall \xi >0,\exists \delta$，当$0<|x-x_{0}|<\delta$时,有
$$\begin{aligned}||f(x)|-0|&< \xi \|f(x)|&< \xi \end{aligned}$$
显然二者等价，因此推广到多元函数，有
$$f(x,y)\to0 \Leftrightarrow |f(x,y)|\to 0$$
例2：证明极限$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to0\y\to0}}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{aligned}$不存在
$$
\lim\limits_{\substack{x\to 0 \y=kx }}\frac{kx^{2}}{x^{2}+k^{2}x^{2}}=\frac{k}{1+k^{2}}
$$
当$k$不同时，极限不同，因此不存在
证明极限不存在，一般选过该点不同的直线，如果不同直线对应极限不同则极限不存在
多元函数的连续性
连续的概念：
$$
\lim\limits_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0})
$$
连续函数的性质
性质1：多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数
性质2：多元连续函数的复合函数也是连续函数
性质3：多元初等函数在其定义域内连续
性质4:（最大值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得最大值与最小值
性质5（介值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值
偏导数
偏导数的定义：
$$
\begin{aligned}
f_{x}(x_{0},y_{0})=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_{0})\Big|{x=x{0}}^{}\
f_{x}(x_{0},y_{0})=\lim\limits_{\Delta y \to 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_{0},y)\Big|{y=y{0}}^{}
\end{aligned}
$$
例3：$\begin{aligned} f(x,y)=\frac{2x+3y}{1+xy \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}$，则$f_{x}(0,0)=()$
可以先求导，然后代入，但比较麻烦，也可以先代入然后求导
$$
f(x,0)=2x \Rightarrow f_{x}(0,0)=2
$$
二元函数偏导数的几何意义
在$(x_{0},y_{0})$处对$x$偏导数，表示当$y=y_{0}$时对应的曲线在$x_{0}$处切线的斜率
高阶偏导数
定义
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)&=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{xx}''\
\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)&=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{xy}''\
\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)&=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{yx}''\
\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)&=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{yy}''
\end{aligned}
$$
定理1：如果函数$z=f(x,y)$的两个混合偏导数在区域$D$/某点内连续，则在该区域内/该点
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}
$$
全微分
定义：若
$$
\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)\quad (\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}})
$$
则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微
$$
dz=A \Delta x+B \Delta y
$$
其中$\rho$就是动点到定点的距离
定理2（可微的必要条件）：如果$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微，则在点$(x_{0},y_{0})$处$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且
$$
dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy
$$
证明：
设函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微，则有
$$
\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)\quad (\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}})
$$
令$\Delta y=0,\Delta x\to0$，则有
$$
\begin{aligned}
f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})&=A \Delta x+o(|\Delta x|)\
\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}&=\frac{A \Delta x}{\Delta x}+\frac{o|\Delta x|}{\Delta x}\
f_{x}'(x_{0},y_{0})&=A
\end{aligned}
$$
用定义判断可微性注意这里用定义，而非直接求导
- $f_{x}(x_{0},y_{0})$与$f_{y}(x_{0},y_{0})$是否都存在
- $\begin{aligned} \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{aligned}$是否为零
定理3（可微的充分条件）：如果$z=f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z }{\partial y}$在点$(x_{0},y_{0})$处连续，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微
连续、可导、可微的关系
常考题型与典型例题
例4：判断二元函数$f(x,y)=\left{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.$在点$(0,0)$处的连续性和偏导数是否存在
$$
\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to0}}f(x,y)=\lim\limits_{\substack{x\to0\y=kx}}=\frac{k}{1+k^{2}}
$$
显然极限不存在
由于不知道偏导数是否存在，因此只能用定义或者先带后求
定义
$$
f_{x}(0,0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{0-0}{\Delta x}=0
$$
先带后求
$$
f(x,0)=\left{\begin{aligned}&0&x \ne 0\&0&x=0\end{aligned}\right.
$$
在$x=0$处函数值为$0$，在$x=0$周围也为$0$，可以看做常函数$x=0$，因此可导，且导数值为$0$
$y$同理，因此偏导数存在
例5：设连续函数$z=f(x,y)$满足$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to 0\ y\to 1}}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0\end{aligned}$，则$dz \Big|_{(0,1)}^{}=()$
根据定义
$$
\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)
$$
但是本题中没有$\Delta x,\Delta y$，因此，设$x_{0}+\Delta x=x,y_{0}+\Delta y=y$，有
$$
\Delta z=f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+o(\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}})
$$
根据条件$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to 0\ y\to 1}}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0\end{aligned}$，可知
$$
f(x,y)-2x+y-2=o(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}})\quad \text{(1)}
$$
又因为$f(x,y)$连续，有$\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to 1}}f(x,y)=f(0,1)$有
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to 1}}f(x,y)-2x+y-2&=\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to 1}}o(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}})\
f(0,1)-0+1-2&=0\
f(0,1)&=1
\end{aligned}
$$
代回$(1)$
$$
\begin{aligned}
f(x,y)-f(0,1)-2x+y-1&=o(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}})\
f(x,y)-f(0,1)&=2x-(y-1)+o(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}})
\end{aligned}
$$
此处主要是为了凑
$$\Delta z=f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+o(\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}})$$
因此在$(0,1)$处$f(x,y)$可微，且有
$$
\Delta z=2x-(y-1)+o(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}})
$$
因此$A=2,B=-1$，即
$$
dz \Big|_{(0,1)}^{}=2dx-dy
$$
例6：证明以下几个经典的反例
$f(x,y)=|x|+|y|$在$(0,0)$点连续，但不可导（也不可微）
$$
f(x,0)=|x|\quad 不可导
$$
因此显然不可导
$\begin{aligned} f(x,y)=\left{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可导，但不连续
$$
\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to0}}f(x,y)=\lim\limits_{\substack{x\to0\y=kx}}=\frac{k}{1+k^{2}}
$$
显然极限不存在
$$
f(x,0)=\left{\begin{aligned}&0&x \ne 0\&0&x=0\end{aligned}\right.
$$
在$x=0$处函数值为$0$，在$x=0$周围也为$0$，可以看做常函数$x=0$，因此可导，且导数值为$0$
个人理解，$\begin{aligned} f(x,y)=\left{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$，由于
$$\lim\limits_{\substack{x\to0\y\to0}}f(x,y)=\lim\limits_{\substack{x\to0\y=kx}}=\frac{k}{1+k^{2}}$$
该式显然$k \ne 0$（如果$k=0$，则$y=0$不合题设），且$k \ne \infty$，因此$f(x,y)$在沿$x,y$轴的方向上连续，且存在偏导；在除了$x,y$轴以外的方向上，即$y=kx$存在的方向上，$f(x,y)$不连续，偏导存在但与该方向无关（偏导本身就是沿着$x$或$y$方向的）
$\begin{aligned} f(x,y)=\left{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可导，但不连续
在上面已证可导，且$f_{x}=0,f_{y}=0$
用定义判断可微性
- $f_{x}(x_{0},y_{0})$与$f_{y}(x_{0},y_{0})$是否都存在
- $\begin{aligned} \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{aligned}$是否为零
$$
\begin{aligned}
&\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\
=&\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\left(\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}-0\right)-(0\cdot \Delta x+0\cdot \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\
=&\lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\
\Rightarrow& 不存在 \Rightarrow 不可微
\end{aligned}
$$
$\begin{aligned} f(x,y)\left{\begin{aligned}&(x^{2}+y^{2})\sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可微，但偏导数不连续
$$
\begin{aligned}
f_{x}(0,0)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\Delta x)^{2}\sin \frac{1}{(\Delta x)^{2}}-0}{\Delta x}=0\
f_{y}(0,0)&=0\quad 由x,y对称性可得
\end{aligned}
$$
还有
$$
\begin{aligned}
&\lim\limits_{\substack{\Delta x\to 0\ \Delta y\to 0}}\frac{[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}]\sin \frac{1}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}-0-(0\cdot \Delta x+0\cdot \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\
=&\lim\limits_{\substack{\Delta x\to 0\ \Delta y\to 0}}\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\sin \frac{1}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\
=&0\
\Rightarrow &可微
\end{aligned}
$$
再证明偏导数不连续
这里不能先代再求
函数的左右导数记为
$$f_{-}'(x_{0}),f'{+}(x{0})$$
导函数的左右极限记为
$$f'(x_{0}-),f'(x_{0}+)$$
先定义某一定点$(x_{0},y_{0})$处的导数
$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$$
这个极限值被称为$f$在$x_{0}$处的导数，记为$f'(x_{0})$
再从特殊（$x_{0}$）到一半
$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
记
$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
由上可知，函数的左右导数是说$f$在某具体点的左右导数
$$\begin{aligned} f_{-}'(x_{0})&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\f_{+}'(x_{0})&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\end{aligned}$$
而函数的导函数的左右极限
$$\begin{aligned}f'(x_{0}-)&=\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}}\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\f'(x_{0}+)&=\lim\limits_{x \to x_{0}^{+}}\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\end{aligned}$$
显然二者的对象不同，函数的左右导数强调的是函数，而导函数的左右极限强调的是导函数作者：留给你柔软肚皮
链接：导函数的左右极限和左右导数有什么区别？ - 知乎 (zhihu.com)
所以说，直接求导不存在并不能说明导数不存在，只能说明，这个f'（x0）是不连续的是吧； 然后，若已知导函数f'（x）在x0处连续，那么就必须要用直接求导法来求解，如果用定义法的话，那一定会缺漏一些东西
作者：桥下落花
链接：求导用定义法、公式法结果不一样 - 知乎 (zhihu.com)
个人哔哔：或许可以这么理解，就像本题，在$(0,0)$处，设$\Delta x \to 0$，那么$f(0+\Delta x)\to 0$，这是由定义法求得的，但是，这的函数的增量是存在的，即使增量$\to 0$，正因为增量不能忽略，此处导函数的极限就不为$0$，也就是上面所说缺漏的东西
$$