PE 233 Lattice points on a circle (数论：毕格拉斯三元组（勾股数）)

Lattice points on a circle

Problem 233

Let f(N) be the number of points with integer coordinates that are on a circle passing through (0,0), (N,0),(0,N), and (N,N).

It can be shown that f(10000) = 36.

What is the sum of all positive integers N ≤ 10^11 such that f(N) = 420 ?

题意：

圆周上的格点

作过点的圆，记圆周上坐标为整数的点的数目为。

可以看出。有些正整数且，这些正整数的和是多少？

题解：

这道题…额…70%的难度，难度比较高了…想了一天才想出来…唉…

一开始我就把方程化成： ==>。

这时发现当是奇数时，上面方程的左边就是个奇数的和，那么右边就是 。

所以这说明所有都可以表示为个奇数的平方之和。继续往这方向想就对了!

其实，当你计算时，这个就等同于计算？（How to prove it?）

从上面的方程，我们就是求。因为N是奇数。假设，那么我们在这个圆作一条的直线，很明显，

是在这个圆上的，同理也在圆上。我猜这就是毕格拉斯三元组(其实就是)：。然后可以

计算出

个：

同样对于：。求。这里有个毕格拉斯三元组。

然后怎么求？

你可从这里得到解题思路：​​http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html​​