【定义】向量与向量组

前置知识：

• ​​【定义】矩阵​​
• ​​线性方程组与矩阵的秩​​

前置定理 1　线性方程组 有解的充分必要条件是 。

证明见 “​​线性方程组与矩阵的秩​​”。

前置定理 2　矩阵方程 有解的充分必要条件是 。

证明见 “​​线性方程组与矩阵的秩​​”。

1 向量和向量空间

定义 1（向量）　 个有次序的数 所组成的数组称为 ，这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第

定义 2　分量全为实数的向量称为 实向量，分量为复数的向量称为 复向量。

维向量可以写成一行，称为行向量，也可以写成一列，称为列向量；规定行向量和列向量都按照矩阵的运算规则进行运算。因此 维行向量和

定义 3（向量空间）　

叫做 。

叫做 维向量空间 中的 。

2 向量组、线性组合

定义 4（向量组）　若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做 向量组。

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。

定义 5（线性组合）　给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式

称为向量组 的一个 线性组合，

定义 6（线性表示）　给定向量组 和向量 ，如果存在一组数 ，使

则向量 是向量组 的线性组合，这时称向量 能由向量组

关于线性组合，有定理和证明如下：

定理 1　向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵

证明　向量 能由向量组 线性表示，等价于方程组 有解。根据前置定理 1 可知，方程组 有解的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵

3 向量组等价

定义 7（向量组等价）　设有两个向量组 及 ，若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则称 向量组 能由向量组 。若向量组 与向量组 能互相线性表示，则称这两个 向量组等价。

关于向量组等价，有定理和证明如下：

定理 2　向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即 。

证明　向量组 能由向量组 线性表示，等价于存在矩阵 使 ，即矩阵方程

有解。根据前置定理 2 可知，矩阵方程 有解的充分必要条件矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即 。得证。

由定理 2，可得推论和证明如下：

推论　向量组 与向量组

其中 和 是向量组 和

证明　根据向量组等价的定义，有：向量组 与向量组 等价 向量组 和向量组

根据定理 2，有：向量组 和向量组 能互相线性表示 且 。

因为 ，所以有： 且 。

综上所述，得证。