算法学习之动态规划(leetcode 304. Range Sum Query 2D - Immutable）

leetcode 304. Range Sum Query 2D - Immutable

Given a 2D matrix matrix, find the sum of the elements inside the rectangle defined by its upper left corner (row1, col1) and lower right corner (row2, col2).

Example:

Given matrix = [
  [, , , , ],
  [, , , , ],
  [, , , , ],
  [, , , , ],
  [, , , , ]
]

sumRegion(, , , ) -> 
sumRegion(, , , ) -> 
sumRegion(, , , ) -> 
           

Note:

You may assume that the matrix does not change.

There are many calls to sumRegion function.

You may assume that row1 ≤ row2 and col1 ≤ col2.

解析：

本来自己在做的时候，直接就去遍历，发现超时，没有往动态规划这块去想，就是缺少一个明确的定义。动态规划的第一步就是要有一个明确的定义。

lc上discuss中优美的答案，首先定义一个比原矩阵大一圈的矩阵dp[m+1][n+1]，便于后续边界条件的判断。

dp[i][j]的含义是在(i, j)之前，所有元素的和，不包括(i, j)，那么整个矩阵的和就是dp[m+1][n+1]。

而且dp矩阵的初始化需要使用动态规划的思路。

如下图

显然

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] 
           + m[i-1][j-1];
           

后续的public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2)函数可以使用几个矩阵的运算来做

公式为

紫色面积 = dp[row2+1][col2+1] - dp[row1][col2+1] 
                         - dp[row2+1][col1] 
                         - + dp[row1][col1];
           

具体的代码实现如下

public class NumMatrix {
    public static int[][] m;
    public static int[][] dp;

    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        if(matrix == null || matrix.length ==  || matrix[].length == ){
            m = null;
        }
        else{
            m = new int[matrix.length][matrix[].length];
            for(int i = ; i < matrix.length; i++){
                for(int j = ; j < matrix[].length; j++){
                    m[i][j] = matrix[i][j];
                }
            }

            dp = new int[matrix.length+][matrix[].length+];
            for(int i = ; i <= matrix.length; i++){
                for(int j = ; j <= matrix[].length; j++){
                    dp[i][j] = dp[i-][j] + dp[i][j-] - dp[i-][j-] + m[i-][j-];
                }
            }
        }
    }

    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return dp[row2+][col2+] - dp[row1][col2+] - dp[row2+][col1] + dp[row1][col1];
    }
}

// Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
// NumMatrix numMatrix = new NumMatrix(matrix);
// numMatrix.sumRegion(0, 1, 2, 3);
// numMatrix.sumRegion(1, 2, 3, 4);