数字化方法基础（四）_矩阵操作
- Chapter 7 矩阵操作
-
- 利用矩阵实现向量平移
- 使用矩阵实现向量旋转
- 如何让图形既平移又旋转
- 坐标系的旋转
- 让图形显示在屏幕中心且绕中心转动
全部教程链接：
https://blog.csdn.net/weixin_44543463/article/details/102650117#_490
此为其中的第四部分
Chapter 7 矩阵操作
利用矩阵实现向量平移
1、基本原理:如图，任意给定一个点的坐标（列向量）x,y,z。设置一个矩阵，利用矩阵的乘法运算即可将三个坐标进行平移
注意：过程中所设置的矩阵为单位阵的最后一列加上偏移量Tx，Ty，Tz。如下图，大家自己试一下矩阵乘法即可验证。
2、在了解了如何将一个列向量进行平移之后，我们就可以编写程序进行向量的平移操作了，我们打开生成螺旋线的程序，注意到螺旋线是由许许多多点组成的，下面这个for循环就是每次生成一个点，我们只需要吧每个点的坐标向量进行平移即可使整个螺旋线平移。
3、现在就开始写程序了，首先明确一下程序执行过程
1. 获得一个点的坐标存入P0数组内
2. 设置一个矩阵Translation用来将坐标平移
3. 将上述两个矩阵相乘得到的结果存入P1数组内，此即为平移后的点的坐标
4、第一步，获得一个点的坐标存入P0数组内，这一步十分简单（注：除函数定义外，其余代码均在for循环内）
float P0[3] = {x,y,z};
5、第二步，设置一个矩阵Translation用来将坐标平移，我们需要一个下面这样的矩阵
如何操作呢，首先先初始化一个单位矩阵，然后将单位矩阵的最后一列赋值为需要偏移的量（我的代码十分简单粗暴，当然也可单独另写一个函数用于初始化一个单位矩阵）
注意：在OpenGL中，矩阵是按列数的，就是说我定义的I[16]中的前四个元素I[1]、I[2]、I[3]、I[4]实际上是矩阵的第一列，最后的I[12]、I[13]、I[14]、I[15]是矩阵的最后一列，而非上学期C语言中理解的最后一行
void Translate(float fx,float fy,float fz,float Translation[16])
{
float I[16] = {1.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f};//定义一个四阶单位阵
I[12] = fx;//将第四列第一行的元素赋fx
I[13] = fy;//第四列第二行赋fy
I[14] = fz;//第四列第三行赋fz
for(int i = 0;i < 16;i++)
Translation[i] = I[i];//将I数组的值循环赋给Translation数组
}
这样操作之后就获得了如上面图片中的数组了。
6、第三步，将上述两个矩阵相乘得到的结果存入P1数组内，此即为平移后的点的坐标，So我们要做的就是定义一个P1数组
float P1[3];
这十分简单，然后就是写一个矩阵乘法的运算，用Translation*P0，结果存入P1中。
实现代码如下，注意translation为4*4矩阵，P0为3*1矩阵，P1为4*1矩阵，
（为什么要四阶矩阵是因为我们需要矩阵运算平移，只有多加一行一列才能实现，而P0和P1我们实际只用前3个元素，）
故我们让P0的“第四个”元素默认为1，即下面代码中最后一项为1*translation[i+12]。
void ApplyMatrix(float *P0,float *translation,float *P1)
{
for(int i = 0;i < 3;++i)
P1[i] = P0[0]*translation[i]+P0[1]*translation[i+4]+P0[2]*translation[i+8]+translation[i+12];
}
7、有了设置操作矩阵的函数Translate，和矩阵相乘的函数ApplyMatrix，我们就可以平移点了。
for(angle = 0.0f; angle <= (2.0f*GL_PI)*3.0f; angle += 0.1f)
{
x = 50.0f*sin(angle);
y = 50.0f*cos(angle);
// Specify the point and move the Z value up a little
glVertex3f(x, y, z);
float P0[3] = {x,y,z}; //定义P0存放平移之前的点
float P1[3]; //定义P1存放平移之后的点
float Translation[16]; //存放一个4*4的操作矩阵
Translate(0.0f,30.0f,0.0f,Translation);
//设置操作矩阵为我们想要的格式（单位阵->最后一列赋值）
ApplyMatrix(P0,Translation,P1);
//操作矩阵和P0点相乘，结果放在P1内
glVertex3f(P1[0], P1[1], P1[2]);
//显示平移之后的点
z += 0.5f;
}
以上为螺旋线平移步骤
使用矩阵实现向量旋转
1、如何进行向量旋转
首先了解一下二维坐标的旋转，设一个向量a的坐标是（x,y），长度为r，与x轴正向夹角为α，则：
xa = r cos α,
ya = r sin α.
如果把向量旋转一个角度φ，则新的向量b的坐标是
xb = r cos(α + φ) = r cos α cos φ - r sin α sin φ,
yb = r sin(α + φ) = r sin α cos φ + r cos α sin φ.
又因为xa = r cos α，ya = r sin α.所以容易看出来
xb = xa cos φ - ya sin φ,
yb = ya cos φ + xa sin φ.
而等式右边，又可写成两个矩阵的乘积
由此可知，等式中由sin和cos组成的二阶方阵，就可以实现将向量(xa ya,)旋转为(xb,yb,)，暂且叫做二阶的旋转操作矩阵
由此推导至三阶，三阶的旋转操作矩阵为以下三种（分别为绕x，y，z轴旋转），大家带入检验一下即可知道，
而为了与之前的平移操作统一，因此我们也把这个三阶旋转操作矩阵扩展为四阶的，如下
2、如何编写函数实现向量旋转呢
由刚才的推导我们知道，用旋转操作矩阵左乘一个列向量即可实现向量的旋转操作
现在我们来编写函数，以绕x轴为例，我们先来看一下“主函数”，这是生成螺旋线的那个循环
for(angle = 0.0f; angle <= (2.0f*GL_PI)*3.0f; angle += 0.1f)
{
x = 50.0f*sin(angle);
y = 50.0f*cos(angle);
// Specify the point and move the Z value up a little
glVertex3f(x, y, z);
float P0[3] = {x,y,z};
float P1[3];
float Rotation[16] = {0};
//定义一个数组（用于存放旋转操作矩阵）
//这里也可生成一个单位阵，那样就不用初始化为0了
Rotate_x(-90,Rotation);
//给定一个角度（-90°），生成旋转操作矩阵
ApplyMatrix(P0,multi,P1);
//用旋转操作矩阵左乘P0，得到的结果P1即为旋转完成的向量坐标
glVertex3f(P1[0], P1[1], P1[2]);
//显示旋转后的坐标对应的点
z += 0.5f;
}
因此，我们需要做的就是写一个函数，由参数（角度）生成一个旋转操作矩阵，这里需要注意的是，math.h头文件中有sin和cos的函数，直接sin（angle）即可调用，其中angle为弧度值，代码如下
（注意，函数里用到的PI是在开头宏定义的
#define PI 3.14159
）
void Rotate_x(float angle,float *rotation)
{
angle = angle/180.0*PI;
//将角度值转换为弧度值
rotation[5] = cos(angle);
rotation[6] = sin(angle);
rotation[9] = -sin(angle);
rotation[10] = cos(angle);
rotation[0] = 1;
rotation[15] = 1;
//配置各个位置的数值，注意矩阵下标是竖着数的，第一行位置为0、4、8、12
}
这样我们得到了旋转操作矩阵，经“主函数”调用即可实现向量的旋转
如何让图形既平移又旋转
一个很简单的思路就是先后调用平移和旋转操作的函数，像下面这样
for(angle = 0.0f; angle <= (2.0f*GL_PI)*3.0f; angle += 0.1f)
{
x = 50.0f*sin(angle);
y = 50.0f*cos(angle);
// Specify the point and move the Z value up a little
glVertex3f(x, y, z);
float P0[3] = {x,y,z};
float P1[3];
float P2[3];
float Translation[16];
Translate(0.0f,60.0f,0.0f,Translation);
ApplyMatrix(P0,Translation,P1);
//进行平移操作，P0平移后为P1
float Rotation[16] = {0};
Rotate_x(-90,Rotation);
ApplyMatrix(P1,Rotation,P2);
//进行旋转操作，P1旋转后为P2
glVertex3f(P2[0], P2[1], P2[2]);
//最后输出P2的点即可
z += 0.5f;
}
但是这显然不是我们想要的，我们想一步就完成平移操作，不需要中间P1的出现，那么就需要将平移操作矩阵和旋转操作矩阵相乘，得到的仍为一个四阶矩阵，再拿这个新的四阶矩阵左乘列向量xy，即可将列向量既平移又旋转。
如何理解？
我们知道平移操作矩阵和旋转操作矩阵都是可逆矩阵（det Rx ≠ 0，det T ≠ 0）
那么这两个矩阵都可以写成许多个初等矩阵的乘积，即
Rx = R1*R2*R3*……Rn * I
T = R1’*R2’*R3’……Rn’ * I
（其中R1，R1’……Rn，Rn’都为初等矩阵，初等矩阵还记得吧，刚学过的线代，只进行一次初等变换的矩阵；初等矩阵左乘一个矩阵即对他行变换）
那么我们知道平移操作为
同理旋转操作也可以写成
那么先平移，然后把平移得到的矩阵旋转就可以写成如下的形式
又因为Rx = R1R2R3*……Rn，T = R1’R2’R3’……Rn’
所以 RxT列向量 就代表把列向量平移又旋转
那么我们现在要做的就是写一个四阶矩阵的乘法函数，以获取Rx*T的结果，拿这结果左乘列向量即一步实现平移旋转。
四阶矩阵的乘法代码如下
void mul(float *rotation,float *translation,float *tran)
{
for(int i = 0;i < 4;i++)
for(int j = 0;j < 4;j++)
for(int k = 0;k < 4;k++)
tran[4*i+j] += rotation[4*k+j]*translation[4*i+k];
}
注意这个是用16个元素的变量代表一个矩阵，下标表示比较麻烦，大家可以在纸上写一下
代码写法不唯一，也可以把它拆成四个循环单独写，当然也可以直接把每个元素赋值，赋值16次就完了
然后按照刚才的逻辑在“主函数”里调用一下就可以了
for(angle = 0.0f; angle <= (2.0f*GL_PI)*3.0f; angle += 0.1f)
{
x = 50.0f*sin(angle);
y = 50.0f*cos(angle);
// Specify the point and move the Z value up a little
glVertex3f(x, y, z);
float P0[3] = {x,y,z};
float P1[3];
float Translation[16];
Translate(0.0f,60.0f,0.0f,Translation);
//获得平移操作矩阵
float Rotation[16] = {0};
Rotate_x(-90,Rotation);
//获得旋转操作矩阵
float multi[16] = {0};
mul(Rotation,Translation,multi);
//两矩阵相乘获得平移+旋转操作矩阵
ApplyMatrix(P0,multi,P1);
//用平移+旋转操作矩阵左乘P0即可得到被平移且旋转之后的矩阵P1
glVertex3f(P1[0], P1[1], P1[2]);
z += 0.5f;
}
以上即利用矩阵实现向量的平移与旋转操作
坐标系的旋转
1、目标：
给定一个向量（如(1,1,1)），将原坐标系旋转为以此向量为Z轴的坐标系。
2、基本概念：
如图，左面的三阶方阵内每一列为新坐标轴的三个单位向量，用这个三阶方阵左乘一个原坐标系的点，即可将这个点坐标旋转为新坐标系的对应坐标
由此，我们只需要生成一个左面的旋转坐标系的矩阵即可。
3、如何生成Ruvw矩阵
法一：
（1）先单位化已知矢量z
（2）然后把已知矢量z中的其中一个坐标变为1，这样就获得了两个在同一平面的向量
（3）然后用这两个向量叉乘，得到的结果就是和已知矢量z垂直的矢量y
（4）然后再用已知矢量z叉乘刚获得的向量y，得到与这两个向量都垂直的向量x。
（5）如此，将得到的三个坐标轴矢量组合成的形式（u为新x轴，v为新y轴，w为新z轴）
法二：知道给定矢量的三个坐标(Zx,Zy,Zz),则和这个矢量垂直的向量之一的坐标是(Zy,-Zx,0)，这样同样可以获得两个相互垂直的矢量，然后这俩矢量叉乘得到第三个矢量，即为三坐标轴。将得到的三个坐标轴矢量组合成的形式（u为新x轴，v为新y轴，w为新z轴）
（注：代表新坐标轴的三个矢量均需要单位化）
//此为法二的代码，其中Rotation+4等地方用到了指针的技巧
void RotateCoor(float *z,float *Rotation)
{
Rotation[3] = 0;
Rotation[15] = 1;
Normalize(z);
for(int i = 0;i < 3;i++)
Rotation[8+i] = z[i];
Rotation[4] = -z[1];
Rotation[5] = z[0];
Normalize(Rotation+4);
crossproject(z,Rotation+4,Rotation);
Normalize(Rotation);
}
上图矩阵即为坐标系旋转操作矩阵，和之前平移与旋转一样，用这个矩阵×P0点，即可得到坐标轴旋转后的点P1
让图形显示在屏幕中心且绕中心转动
1.首先我们要知道，OpenGL生成的对话框的长和宽是可以设置的，我们需要让对话框的宽高比与我们要生成的图像的宽高比相同，并且对话框要比图像稍大一些。
2、具体如下思路：
设模型的高为ModelHeight，宽为ModelWidth，生成的空间高为h，宽为w
如果ModelHeight/h > ModelWidth/w，说明对话框比较高（模型比较宽），因此要尽可能满足模型的宽，比如让对话框的宽为模型宽的2.5倍（让对话框稍大一些），则对话框的高就为 对话框的高/模型的高 * 模型的宽。
同理对话框比较扁也可以得到对称的结论，因此，用计算得到的对话框的宽和高就可生成一个合适的对话框。
3、如何编程更改对话框大小：
打开之前加载泵体的那个文件(chapt05\shinyjet)更改ChangeSize函数为以下形式
void ChangeSize(int w, int h)
{
GLfloat fAspect;
GLfloat lightPos[] = { -50.f, 50.0f, 100.0f, 1.0f };
// Prevent a divide by zero
if(h == 0)
h = 1;
// Set Viewport to window dimensions
glViewport(0, 0, w, h);
// Reset coordinate system
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
fAspect = (GLfloat) w / (GLfloat) h;
// Establish clipping volume (left, right, bottom, top, near, far)
//aspectRatio = (GLfloat)w / (GLfloat)h;
//这之上都不用动
float scale = 2.5;
//对话框与模型大小比例为2.5倍
float ScaleHeight,ScaleWidth,ModelWidth,ModelHeight;
//定义对话框的宽高，模型的宽高
ModelWidth = PointMax[0]-PointMin[0];
ModelHeight = PointMax[1]-PointMin[1];
//模型宽的计算可由模型上最右的点坐标减最左点的坐标
if(w*ModelHeight > h*ModelWidth)
{//当ModelHeight/h > ModelWidth/w时，模型比较宽，对话框比较高
ScaleHeight = scale * ModelHeight;
//设置对话框的宽为模型宽的2.5倍
ScaleWidth = scale * ModelHeight * w / h;
//对话框的高为 对话框的高/模型的高 * 模型的宽
}
else
{
ScaleWidth = scale * ModelWidth;
ScaleHeight = scale * ModelWidth * h / w;
}
glOrtho(0.5 * (PointMax[0] - PointMin[0]) - 0.5 * ScaleWidth,0.5 * (PointMax[0] - PointMin[0]) + 0.5 * ScaleWidth,0.5 * (PointMax[1] - PointMin[1]) - 0.5 * ScaleWidth,0.5 * (PointMax[1] - PointMin[1]) + 0.5 * ScaleWidth,-2.0,2.0);
//定出模型的中心坐标，下面代码就根据中心坐标生成一个与模型中心位置相同的对话框
//这之下都不用动
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glLightfv(GL_LIGHT0,GL_POSITION,lightPos);
//glTranslatef(0.0f, 0.0f, -150.0f);
}
4、如何编程找出模型上对角线的两个点
将之前写过的读取文件里点的坐标的那个while循环中添加一部分内容，改成如下形式，
while(strcmp(String0,"endsolid"))
{
in >> String0;
in >> n[0] >> n[1] >> n[2];
in >> String0 >> String0 >> String0 >> Points[0] >> Points[1] >> Points[2];
in >> String0 >> Points[3] >> Points[4] >> Points[5];
in >> String0 >> Points[6] >> Points[7] >> Points[8];
//以下为新加内容，作用为找到对角线上的两个点，存到PointMin和PointMax里
for(float * point = Points + 3;point < Points + 11;point += 3)
{
for(int j = 0;j < 3;j++)
{
if(Points[j]<PointMin[j])
{
PointMin[j] = Points[j];
}
if(Points[j]>PointMax[j])
{
PointMax[j] = Points[j];
}
}
}
//以上为新加内容
glColor3ub(255,255,0);
glBegin(GL_TRIANGLES);
DrawTriangle(Points,Points+3,Points+6,n);
glEnd();
in >> String0 >> String0>> String0;
}
（注意，因为PointMin和PointMax既在SetupRC函数里使用又在Changesize函数里使用，故需要定义为全局变量，如下float PointMin[3] = {1.0e38f,1.0e38f,1.0e38f};float PointMax[3] = {1.0e-38f,1.0e-38f,1.0e-38f};）
5、现在看起来可以了，我们把对话框设置成了和模型等比例，对称中心重合，但还需要更改一个地方就是，我们生成的模型中心和我们旋转轴的中心不是重合的，我们如何实现按下键盘时，让模型绕原点转动，而不是绕其他轴运动。
具体思路就是，我们要让模型绕自己中心旋转，可以先把模型平移到坐标轴原点处（原点与模型中心重合），进行旋转，然后在平移回原来位置，这样看上去就是模型绕自己中心旋转了，具体代码如下：
void RenderScene(void)
{
// Clear the window with current clearing color
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
// Save the matrix state and do the rotations
glPushMatrix();
float Translation[16];
Translate(0.5f * (PointMax[0] + PointMin[0]),0.5f * (PointMax[1] + PointMin[1]),0.5f * (PointMax[2] + PointMin[2]),Translation);
glMultMatrixf(Translation);
glRotatef(xRot,1.0f,0.0f,0.0f);
glRotatef(yRot,0.0f,1.0f,0.0f);
Translate(-0.5f * (PointMax[0] + PointMin[0]),-0.5f * (PointMax[1] + PointMin[1]),-0.5f * (PointMax[2] + PointMin[2]),Translation);
glMultMatrixf(Translation);
glCallList(DrawList);
// Restore the matrix state
glPopMatrix();
// Display the results
glutSwapBuffers();
}
经过修改这三个地方就实现了让模型能够正常的显示在屏幕中心且绕模型自己的中心转动
Continue……