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用Python搓一个太阳系

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      • 日地月三体
      • 日地火
      • 太阳系

你们要的3D太阳系

3D太阳系+特洛伊小行星群

图片上传之后不知为何帧率降低了许多。。。

日地月三体

所谓三体，就是三个物体在重力作用下的运动。由于三点共面，所以三个质点仅在重力作用下的运动轨迹也必然无法逃离平面。

三体运动所遵循的规律就是古老而经典的万有引力

F ⃗ = G m i m j r 2 e ⃗ r \vec F=\frac{Gm_im_j}{r^2}\vec e_r F

=r2Gmi​mj​​e

r​

则对于 m i m_i mi​而言，

m i d v ⃗ i d t = G m i m j r i j 3 r ⃗ i j m_i\frac{\text d\vec v_i}{\text dt}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij} mi​dtdv

i​​=rij3​Gmi​mj​​r

ij​

且

d r ⃗ i d t = v ⃗ i \frac{\text d\vec r_i}{\text dt}=\vec v_i dtdr

i​​=v

i​

将其写为差分形式

v ⃗ i = ∑ j ≠ i G m j r i j 3 r ⃗ i j d t r ⃗ i = v ⃗ i d t \begin{aligned} \vec v_i&=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j}{r_{ij}^3}\vec r_{ij}\text dt\\ \vec r_i&= \vec v_i\text dt \end{aligned} v

i​r

i​​=j​=i∑​rij3​Gmj​​r

ij​dt=v

i​dt​

由于我们希望观察三体运动的复杂形式，而不关系其随对应的宇宙星体，所以不必考虑单位制，将其在二维平面坐标系中拆分，令 v ⃗ = ( u , v ) \vec v=(u,v) v

=(u,v)，则

u i + = ∑ j ≠ i G m j ( x j − x i ) d t ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 3 v i + = ∑ j ≠ i G m j ( y j − y i ) d t ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 3 x i + = u ⃗ i d t y i + = v ⃗ i d t \begin{aligned} u_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(x_j-x_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ v_i&+=\sum_{j\not=i}\frac{Gm_j(y_j-y_i)\text dt}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2}^3}\\ x_i&+= \vec u_i\text dt\\ y_i&+= \vec v_i\text dt \end{aligned} ui​vi​xi​yi​​+=j​=i∑​(xi​−xj​)2+(yi​−yj​)2

​3Gmj​(xj​−xi​)dt​+=j​=i∑​(xi​−xj​)2+(yi​−yj​)2

​3Gmj​(yj​−yi​)dt​+=u

i​dt+=v

i​dt​

太阳、地球和月亮就是一个典型的三体系统，其中太阳质量为 1.989 × 1 0 30 k g 1.989×10^{30}kg 1.989×1030kg，地球质量为 5.965 × 1 0 24 k g 5.965×10^{24}kg 5.965×1024kg，月球质量为 7.342 ✕ 1 0 22 k g 7.342✕10^{22}kg 7.342✕1022kg，万有引力常数为 G = 6.67 × 1 0 − 11 N ⋅ m 2 / k g 2 G=6.67×10^{-11}N·m2/kg^2 G=6.67×10−11N⋅m2/kg2。地月距离为 3.8 × 1 0 8 m 3.8\times10^8m 3.8×108m；日地距离为 1.5 × 1 0 11 m 1.5\times10^{11}m 1.5×1011m；地球公转速度为 28.8 k m / s 28.8km/s 28.8km/s；月球公转速度为 1 k m / s 1km/s 1km/s，则各参数初始化为

#后续代码主要更改这里的参数
m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12]
x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8])
y = np.array([0,0,0])
u = np.array([0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,1.02e3])

由于地月之间的距离相对于日地距离太近，所以在画图的时候将其扩大100倍，得到图像

用Python搓一个太阳系

尽管存在误差，但最起码看到了地球围绕太阳转，月球围绕地球转。。。代码为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation

m = [1.33e20,3.98e14,4.9e12]
x = np.array([0,1.5e11,1.5e11+3.8e8])
y = np.array([0.0,0,0])
u = np.array([0.0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,2.88e4+1.02e3])

fig = plt.figure(figsize=(12,12))
ax = fig.add_subplot(xlim=(-2e11,2e11),ylim=(-2e11,2e11))
ax.grid()

trace0, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)
trace1, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)
trace2, = ax.plot([],[],'-', lw=0.5)

pt0, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')
pt1, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')
pt2, = ax.plot([x[0]],[y[0]] ,marker='o')

k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes)
textTemplate = 't = %.3f days\n'

N = 1000
dt = 36000
ts =  np.arange(0,N*dt,dt)/3600/24
xs,ys = [],[]
for _ in ts:
    x_ij = (x-x.reshape(3,1))
    y_ij = (y-y.reshape(3,1))
    r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2)
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if i!=j :
                u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
                v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
    x += u*dt
    y += v*dt
    xs.append(x.tolist())
    ys.append(y.tolist())

xs = np.array(xs)
ys = np.array(ys)

def animate(n):
    trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0])
    trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1])
    #绘图时的地月距离扩大100倍，否则看不清
    tempX2S = xs[:n,1]+100*(xs[:n,2]-xs[:n,1])
    tempY2S = ys[:n,1]+100*(ys[:n,2]-ys[:n,1])
    trace2.set_data(tempX2S,tempY2S)

    pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]])
    pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]])
    tempX = xs[n,1]+100*(xs[n,2]-xs[n,1])
    tempY = ys[n,1]+100*(ys[n,2]-ys[n,1])
    pt2.set_data([tempX],[tempY])

    k_text.set_text(textTemplate % ts[n])
    return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_text

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
    range(N), interval=10, blit=True)

plt.show()
ani.save("3.gif")

日地火

质量 M M M G M GM GM 与太阳距离 公转速度
地球 5.965 × 1 0 24 k g 5.965×10^{24}kg 5.965×1024kg 3.98 × 1 0 14 3.98×10^{14} 3.98×1014 1.5 × 1 0 11 m 1.5\times10^{11}m 1.5×1011m 28.8 k m / s 28.8km/s 28.8km/s
火星 6.4171 ✕ 1 0 23 k g 6.4171✕10^{23}kg 6.4171✕1023kg 4.28 × 1 0 13 4.28×10^{13} 4.28×1013 1.52 A . U . = 2.28 × 1 0 11 1.52 A.U.=2.28\times10^{11} 1.52A.U.=2.28×1011 24 k m / s 24km/s 24km/s 
m = [1.33e20,3.98e14,4.28e13]
x = np.array([0,1.5e11,2.28e11])
y = np.array([0.0,0,0])
u = np.array([0.0,0,0])
v = np.array([0,2.88e4,2.4e4])

### 由于火星离地球很远，所以不必再改变尺度
def animate(n):
    trace0.set_data(xs[:n,0],ys[:n,0])
    trace1.set_data(xs[:n,1],ys[:n,1])
    trace2.set_data(xs[:n,2],ys[:n,2])

    pt0.set_data([xs[n,0]],[ys[n,0]])
    pt1.set_data([xs[n,1]],[ys[n,1]])
    pt2.set_data([xs[n,2]],[ys[n,2]])

    k_text.set_text(textTemplate % ts[n])
    return trace0, trace1, trace2, pt0, pt1, pt2, k_text

得到

用Python搓一个太阳系

这个运动要比月球的运动简单得多——前提是开上帝视角，俯瞰太阳系。如果站在地球上观测火星的运动，那么这个运动可能相当带感

用Python搓一个太阳系

所以这都能找到规律，托勒密那帮人也真够有才的。

太阳系

由于太阳和其他星体之间的质量相差悬殊，所以太阳系内的多体运动，都将退化为二体问题，甚至如果把太阳当作不动点，那就成了单体问题了。

尽管如此，我们还是尽可能地模仿一下太阳系的运动情况

质量 半长轴(AU) 平均速度(km/s)
水星 0.055 0.387 47.89
金星 0.815 0.723 35.03
地球 1 1 29.79
火星 0.107 1.524 24.13
木星 317.8 5.203 13.06
土星 95.16 9.537 9.64
天王星 14.54 19.19 6.81
海王星 17.14 30.07 5.43
冥王星

除了水星偏心率为0.2，对黄道面倾斜为7°之外，其余行星的偏心率皆小于0.1，且对黄道面倾斜普遍小于4°。由于水星的轨道太小，偏不偏心其实都不太看得出来，所以就当它是正圆也无所谓了，最后得图

用Python搓一个太阳系
au,G,RE,ME = 1.48e11,6.67e-11,1.48e11,5.965e24

m = np.array([3.32e5,0.055,0.815,1,
              0.107,317.8,95.16,14.54,17.14])*ME*6.67e-11
r = np.array([0,0.387,0.723,1,1.524,5.203,
              9.537,19.19,30.7])*RE
theta = np.random.rand(9)*np.pi*2

x = r*np.cos(theta)
y = r*np.sin(theta)

v = np.array([0,47.89,35.03,29.79,
              24.13,13.06,9.64,6.81,5.43])*1000
u = -v*np.sin(theta)
v = v*np.cos(theta)

name = "solar.gif"

fig = plt.figure(figsize=(10,10))
ax = fig.add_subplot(xlim=(-31*RE,31*RE),ylim=(-31*RE,31*RE))
ax.grid()

traces = [ax.plot([],[],'-', lw=0.5)[0] for _ in range(9)]
pts = [ax.plot([],[],marker='o')[0] for _ in range(9)]

k_text = ax.text(0.05,0.85,'',transform=ax.transAxes)
textTemplate = 't = %.3f days\n'

N = 500
dt = 3600*50
ts =  np.arange(0,N*dt,dt)
xs,ys = [],[]
for _ in ts:
    x_ij = (x-x.reshape(len(m),1))
    y_ij = (y-y.reshape(len(m),1))
    r_ij = np.sqrt(x_ij**2+y_ij**2)
    for i in range(len(m)):
        for j in range(len(m)):
            if i!=j :
                u[i] += (m[j]*x_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
                v[i] += (m[j]*y_ij[i,j]*dt/r_ij[i,j]**3)
    x += u*dt
    y += v*dt
    xs.append(x.tolist())
    ys.append(y.tolist())

xs = np.array(xs)
ys = np.array(ys)

def animate(n):
    for i in range(9):
        traces[i].set_data(xs[:n,i],ys[:n,i])
        pts[i].set_data(xs[n,i],ys[n,i])
    k_text.set_text(textTemplate % (ts[n]/3600/24))
    return traces+pts+[k_text]

ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, 
    range(N), interval=10, blit=True)

plt.show()
ani.save(name)

由于外圈的行星轨道又长速度又慢，而内层的刚好相反，所以这个图很难兼顾，观感上也不太好看。

如果只画出木星之前的星体，顺便加上小行星带，可能会好一些。

用Python搓一个太阳系

通过这个图就能看出来，有一颗小行星被木星弹了过来，直冲冲地向地球赶来，幸好又被太阳弹了出去，可见小行星还是挺危险的，好在这只是个假想图。

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