本文为对钱晓凡老师编著的《信息光学数字实验室》代码内容复现的一些思考整理。更多理论详细内容，请查阅相关书籍。
实验内容
（1）利用Matalb中自带的peaks函数创建一个二维带限函数，通过傅里叶变换观察其频谱，并测量其带宽，理解“带限”的含义；
（2）构建二维梳状函数，并显示其空间分布及频谱，观察改变梳状函数的空间间隔——抽样间隔后频谱的变化；
（3）利用梳状函数对连续函数抽样，得到该函数的抽样函数，在空域观察抽样函数；
（4）观察抽样函数的频谱，并与原连续函数的频谱做比较，体会抽样函数的频谱、梳状函数的频谱，以及连续函数的频谱之间的卷积关系；
（5）改变抽样间隔，或调整原连续函数的带宽，观察抽样函数频谱的混叠和分离现象，总结其规律；
（6）根据抽样间隔构建二维矩形函数滤波器，并对抽样函数的频谱完成滤波和逆傅里叶变换，观察原连续函数的带宽改变，或抽样间隔改变后，利用抽样函数重构原函数的效果，体会欠采样，继而理解抽样定理。
1 构建一个带限函数并显示
%% (1) 带限函数
fxy=cos(peaks(256).*2+pi)+1; %构建连续带限函数,只在频率空间的有限区域R上不为0
[rr,cc]=size(fxy); %计算连续函数的大小
figure,imshow(fxy,[]) %显示连续函数
F=fftshift(fft2(fxy)); %计算连续函数的频谱
figure,plot(abs(F(round(rr/2)+1,:))), %观察带宽 行 x方向
figure,plot(abs(F(:,round(cc/2)+1))), %观察带宽 列 y方向
figure,surfl(abs(F)),shading interp,colormap(gray); %频谱3D图
原函数图像
x方向频谱
y方向频谱
频谱三维显示
2 构建一个梳状采样函数并显示
combxy=zeros(rr,cc); %开始生成comb函数
X=4;Y=4; %抽样间隔
for n=1:Y:rr
for m=1:X:cc
combxy(n,m)=1;
end
end
figure,imshow(combxy,[]); %显示comb函数
% figure,mesh(combxy)
C=fftshift(fft2(combxy)); %计算comb函数的频谱
figure,surfl(abs(C)),shading interp,colormap(gray); % 频谱3D图，间隔256/X
二维梳状函数
x,y方向是均隔4个点取一个值。
梳状函数频谱显示（因原始图像大小为256×256个像素，傅里叶变换后（对称）最高空间频率为 256 / 2 = 128 m − 1 256/2=128m^{-1} 256/2=128m−1）,梳状函数频率间隔为256/4=64
3 用构建的梳状函数对原函数进行采样
%% (3) 梳状函数抽样
gxy=zeros(rr,cc); %定义抽样函数
gxy=fxy.*combxy; %生成抽样函数
figure,imshow(gxy,[]); %显示抽样函数```
**采样后函数显示**
## 4 观察抽样后函数的频谱
```c
%% （4）抽样函数频谱
Gs=fftshift(fft2(gxy)); %计算抽样函数的频率
figure,surfl(abs(Gs)),shading interp,colormap(gray); %频谱3D图
figure,plot(abs(Gs(:,cc/2+1))), %观察频谱是否有重叠
观察抽样后的函数频谱
观察某一列频谱y方向
4 滤波并恢复函数
从上述观察到的频谱可以看出，要想从抽样后的函数中恢复原函数，滤波函数窗宽 g x = 64 , g y = 64 g_x = 64, g_y = 64 gx=64,gy=64
将中心频谱截出。
%% （6）滤波器
By=round(rr/2/Y);
Bx=round(cc/2/X); %二维矩函数滤波器的宽度
H=zeros(rr,cc); %开始生成二维矩函数滤波器
H(round(rr/2)+1-By:round(rr/2)+1+By-1,round(cc/2)+1-Bx:round(cc/2)+1+Bx-1)=1;
figure,imshow(H,[]) %显示二维矩函数滤波器
Gsyp=H.*Gs; %滤波计算原函数频谱
figure,surfl(abs(Gsyp)),shading interp,colormap(gray);
gxyyp=X*Y.*abs(ifft2(fftshift(Gsyp))); %逆傅里叶变换计算原函数
figure,imshow(gxyyp,[]) %显示还原的原函数
diff = fxy - gxyyp; %%原函数与还原后的函数差值
figure,imshow(diff,[]) %%显示差值
显示二维滤波器
滤出后频谱
显示还原后的函数
空域抽样间隔分别为X和Y，则离散信号的幅度应该是原函数频谱的 1 / ( X Y ) 1/(XY) 1/(XY)，为保证幅度正确，必须让用FFT计算得到的结果乘以XY。
显示原函数与还原后函数的差值
5 思考
1、原函数带宽提高，变为原来的2倍
若依然采用原来的抽样间隔X=Y=4，重复之前的结果，可以看到最后复原后的结果为：
在蓝色先圈出区域，均未能完整恢复原函数特征。
究其原因为，原函数频率提升，我们先来看看它的带宽，这里取方向进行展示，x方向带宽依旧为64个像素。可以看到y方向的带宽 2 B y = 12 8 − 1 m 2B_y=128^{-1}m 2By=128−1m，根据抽样定理，要能够重构原函数的条件是抽样间隔至少满足Y=256*2B_y=2个像素。上述实验中，仍取X=Y=4个像素，不满足抽样定理，故发生了欠采样。
抽样间隔变为X=4，Y=2后，复原结果为。
从图中可以看出，可以较好复原。
用X=Y=2间隔进行抽样，复原后得到结果如图所示：
可以看出，其复原效果更好。