几何变换（二维、三维）

几何变换

窗口区到视图区的坐标变换

    实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。

比例关系，两者的变换公式为：

可以简单地将两者的关系表示为：

二维图形的几何变换

    正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 

这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。

形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。

1）平移变换 

2）缩放变换 

3）旋转变换

4）对称变换

对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

1. 当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。
2. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。
3. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。
4. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。
5. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

5）错切变换

1. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值  （x，y）及变换系数b作线性变化。
2. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值  （x，y）及变换系数d作线性变化。

6）复合变换

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

1. 复合平移

   对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：

   

2. 复合缩放

   两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

   

3. 复合旋转

   两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：

   

   缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。
4. 关于（xf，yf）点的缩放变换

   

   

5. 绕（xf，yf）点的旋转变换

   

三维几何变换

1. 由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：

   

   

     1）平移变换

     参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：

     2）缩放变换

    直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为：

     A. 将平移到坐标原点处；

     B. 进行缩放变换；

     C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置

       则变换矩阵为：

    3）绕坐标轴的旋转变换 

    三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：

     A.绕x轴旋转

     B.绕y轴旋转

     C.绕z轴旋转

三维空间的平移、旋转及缩放示意图

   4）绕任意轴的旋转变换

   设旋转轴AB由任意一点A（xa，ya，za）及其方向数(a，b，c)定义，

   可以通过下列步骤来实现P点的旋转：

     A. 将A点移到坐标原点。

     B. 使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。

     D.作上述变换的逆操作，使AB回到原来位置。

是AB在YOZ平面与XOZ平面的投影与Z轴的夹角。