【高等数学】微分方程

微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

微分方程的解：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程称为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

初值条件：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为，其中都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程的定义

如果一个一阶微分方程能写成的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

二、求解分离变量的微分方程的方法

1. 将微分方程化为
2. 将上式两端同时积分得
3. 设及依次为及的原函数，得

例1：求微分方程的通解

齐次方程

一、齐次方程的定义

如果一阶微分方程可以化为的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。例如可化为

二、求解齐次方程的方法

1. 将原微分方程化为的形式
2. 令，则，
3. 原微分方程可化为，将其分离变量得，两边同时积分得
4. 求出积分之后，将代替，得到齐次方程的通解

例1：求齐次微分方程的通解

原方程化为，

令

原微分方程化为，

一阶线性微分方程

一、一阶线性齐次微分方程

1. 一阶线性齐次微分方程的一般形式

一阶微分方程可以化成的形式，称为一阶线性齐次微分方程

2. 一阶线性齐次微分方程的通解形式

的通解为

推导：

二、一阶线性非齐次微分方程

1. 一阶线性非齐次微分方程的一般形式

一阶微分方程可以化为的形式，称为一阶线性非齐次微分方程

2. 一阶线性非齐次微分方程通解形式

的通解为

推导：

令

令

代入(1)

例1：求微分方程的通解

原式化为：

三、伯努利方程

1. 伯努利方程的一般形式

方程，叫做伯努利方程

2. 求法及通解形式

1. 将等式两端同除，得
2. 令，那么
3. 将乘在(1)式两端，经过代换变成，解出方程的通解，再将用代换，得到方程的通解

例2：求方程的通解

等式两端同除得，

令，得，

代入原微分方程得

将代入得

可降阶的高阶微分方程

一、的微分方程

求法

将微分方程的两端同时积分得，再对等式两边同时积分得，连续积分次，得到方程含有个任意常数的通解

例1：求微分方程的通解

故通解为

二、型的微分方程

即缺的微分方程、不显含的微分方程

求法

1. 令，则
2. 原微分方程变为，解微分方程得
3. 由于，则，解得

例2：求微分方程满足初值条件的特解

令，故

则微分方程可化为

故

又 当时，

解得，

则，

有

解得，

三、型的微分方程

即缺的微分方程、不显含的微分方程

求法

1. 令，则
2. 原微分方程变为，解微分方程得
3. 由于，再对其分离变量，解得微分方程的通解

例3：求微分方程的通解

令，故

当时，则

当时，

故

当时，为通解

故通解为

高阶线性微分方程

一、线性微分方程解的结构

对于二阶齐次线性方程，二阶非齐次线性方程

定理1：如果函数与都是方程的两个解，那么也是方程的解，其中是任意常数。即，齐次方程的解成倍数相加减仍为齐次方程的解

证明：

令

显然是方程的解

定理2：如果与方程的两个线性无关的特解，那么就是方程(1)的通解

推论：如果是阶其次线性方程的个线性无关的解，那么此方程的通解为，其中为任意常数

定理3：设是二阶非齐次线性方程(2)的一个特解，是方程对应的齐次方程(1)的通解，则是二阶非齐次线性微分方程的通解

证明：

故是二阶非齐次线性微分方程的通解

定理4：设非齐次线性方程的右端是两个函数之和，即，且分别是方程与的特解，则是方程的特解

证明：

得

令

则

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1. 定义

在二阶齐次线性微分方程中，如果的系数均为常数，即，其中是常数，那么就称其为二阶常系数齐次线性微分方程

2. 求法及通解形式

1. 写出微分方程的特征方程。即，将中y的几阶导数就变为的几次方
2. 求出特征方程的两个根
3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

特征方程的两个根	微分方程的通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根

三、高阶常系数齐次线性微分方程

1. 一般形式

阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是，其中都是常数

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实数	给出一项：
一对单复根	给出两项：
重实根	给出项：
一对重复根	给出项：

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是

例2：求方程的通解

解特征方程，

解得，

故

四、二阶常系数非齐次线性微分方程

1. 定义

在二阶非齐次线性微分方程)中，如果的系数均为常数，即，其中q是常数，那么就称其为二阶常系数非齐次线性微分方程

2. 求法及通解形式

1. 先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解

（得到）

• 当时，)为的次多项式，则微分方程的特解可设为，其中是与同次的多项式，是特征方程含根的重数

（中的）

- 当时，其中分别为的次，次多项式，则微分方程的特解可设为，其中是两个的次多项式，，当不是齐次方程的特征根时，取；当是齐次方程的特征根时，取

再根据定理3即可得到通解

例3：求微分方程的通解

齐次方程，

设

将代入微分方程

故

故

例4：求微分方程的通解

齐次方程，

故

设

将代入微分方程中