凸优化：ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)交替方向乘子算法系列之五： Constrained Convex Optimization

最近开始对凸优化(convex optimization)中的ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)交替方向乘子算法开始感兴趣，接下来我会写一系列关于ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)交替方向乘子算法的内容。

凸优化：ADMM(Alternating Direction Method of Multipliers)交替方向乘子算法系列之五： Constrained Convex Optimization

5- 约束凸优化（Constrained Convex Optimization）

通用的约束凸优化问题为

其中 x∈Rn， f 和 C 是凸的。改写成 ADMM 形式

其中 g 是 C 的指示函数。增广 Lagrangian 为

因此有

x-update 涉及最小化 f 加 一个凸二次函数；z-update 是一个 C 上的 Euclidean 映射。这里目标函数 f 不要求光滑。

As with all problems where the constraint is x − z = 0, the primal and dual residuals take the simple form

5-1 凸可行性（Convex Feasibility）

5-1-1 交替投影法（Alternating Projections）

找到两个闭合非空凸集的交集中的一个点的常用方法是 alternating projections 算法

其中 ΠC 和 ΠD 分别是 集合 C 和 D 上的 Euclidean 映射。

原问题写成 ADMM 形式，

其中 f 和 g 分别是 C 和 D 的指示函数（indicator function）。

ADMM 的缩放形式（scaled form）

x- 和 z- 步都涉及在一个凸集上的映射。

5-1-2 平行投影法（Parallel Projections）

扩展到找到 N 个闭合凸集 A1,...,AN 交错集上的点，

接着有

第一和三步可以并行。

5-2 线性和二次规划（Linear and Quadratic Programming）

标准的二次规划 quadratic program (QP) 形式为

表示成 ADMM 形式

其中

g 是非负象限 Rn+ 的指示函数。

ADMM 的缩放形式（scaled form）

x-update 是一个有优化条件的等式约束最小二次问题（an equality-constrained least squares problem with optimality conditions）。