对一个电子运动概率描述问题之思考
概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。
由此可见，概率是对大量微观粒子运动表象的宏观描述方法，对少量或单个粒子运动的就不可能用概率统计来描述，但在量子力学中，对氢原子核外的一个电子运动，为什么可以用概率描述而不是确定轨道来描述呢？
原来它们是将电子绕核运动放到无限长的时间下去考察的结果，即将无限长的时间分成无限多个时刻点，且每个时刻点对应着电子在核外空间运动到底的位置，于是对这些时刻点上对应的电子位置作概率统计，就得出电子在核外运动分布是不连续的，呈电子云分布态。
从量子理论上讲就是，薛定谔波函数是一个包含时空要素的运动函数，但量子力学在得出电子云结论时，只截取了这个函数的空间描述形式，而略去了时间部分，即
Ψ（x,t）=ψ0·e^[-i2π/h·(Et-px)]=e^(-i2π/h·Et)·（ψ0·e^（i2π/h·px）,
令Ψ（x）=ψ0·e^（i2π/h·px），则Ψ（x）是Ψ（x,t）的一部分，但它只与空间坐标变化有关，与时间变化无关，即不再讨论时间变量对波函数变化的影响了，为此将其称为空间波函数，因动量p²=2mEk，故有
Ψ（x）=ψ0·e^（i2π/h·px）=ψ0·e^[i2π/h·(2mEk)½ x].
根据欧拉三角函数公式e^ikx=coskx+isinkx，可得这个方程的另一种描述形式：
ψ(x)=ψ0·e^（i2π/h·px）=ψ0·cos(2π/h·px)+ψ0·isin(2π/h·px)=ψ0·cos[2π/h·(2mEk)½ x]+ψ0·isin[2π/h·(2mEk)½ x]，这是一个描述ψox平面波动的函数，其中的波动速度v与波动时间t都是隐变量。
对其求二阶导数，可得一维空间自由粒子运动的薛定谔波函数方程:
d²ψ(x)/dx²+8π²mEk/h²·ψ(x)=0.
此方程的通解是ψ(x)=Asinkx+Bcoskx，其中k=(8π²mEk/h²)^1/2.
如果一个粒子在势场中运动，则将一维空间自由粒子运动的薛定谔方程d²ψ(x)/dx²+8π²mEk/h²·ψ(x)=0中的动能Ek用E-Ep(x)代替就会得出势场中的一维空间定态薛定谔方程：
d²ψ(x)/dx²+8π²m[E-Ep(x)）]/h²·ψ(x)=0.
其中，E表示粒子运动的总能量，Ep(x)表示粒子在势场中的势能，且E=Ek+Ep(x)守恒；这个方程的解也是ψ(x)=Asinkx+Bcoskx形式，其中k={8π²m [E-Ep(x)）]/h²}^1/2，它的本质还是一个描述简谐波的方程。
将一维空间定态薛定谔方程拓展成三维，就会得出势场中三维空间定态薛定谔方程：
▽²ψ（x）+8π²m [E-Ep(x)）]/h²·ψ(x)=0.
这个方程所描述的势场粒子运动与德布罗意平面物质波方程Ψ（x,t）=A·e^[-i(εt-px)]/h′相类似。
由于在势场中，一个粒子运动的总能量E是一个守恒不变量，有E=Ek+（-Ep）守恒，这里动能Ek是一个与运动速度有关的量，它与运动时间有关，势能Ep是一个与空间坐标变化有关的量，它与运动时间无关。
当一维或三维空间定态薛定谔方程中的动能Ek用Ek=E+Ep来代替后，粒子在势出中的运动速度就不被体现出来，这样一来，粒子在核外运动就不再是动态的，而是一个静态的可见位置图景，即粒子运动轨道概念就消失了，也就是说，用动能描述粒子运动有轨道概念，而用势能描述粒子运动就不再有轨道概念，即不再表现出粒子运动的连续性，取而代之的是离散性。
在球坐标系下，利用三维空间定态薛定谔方程，可以得出氢原子处于基态（s态）时的定态薛定谔方程：
d²ψ(s)/dr²+2dψ(s) /r·dr+8π²m(E+e²/4π·ε0·r)/h²·ψ(s)=0.
这个方程最简单的解是：
ψ(s)=Ce^-ar.
但要注意：这个解已不再是一个描述波运动的函数，而是一个描述指数单调递减的函数，这种函数也是描述概率的一种函数形式。
也就是说，电子云形式不是用Ψ（x,t）描述出来的，而 是用Ψ（x）=Ce^-ar描述的结果；而对一个波动方程的完整描述应是Ψ（x,t）而不是Ψ（x），即必须包含时间t、v要素，如果没有了这些要素，也就不存在粒子运动态描述问题了。
我们知道，一个电子在核外空间运动时，其运动时间是连续的，但当我们不考虑连续时间下的运动问题，只考虑其不同时刻在空间所处的位置状态时，就必然会得出在大量不同时刻下一个电子在核外所处的空间位置状态点，这就是电子云形式。
可见，电子云是将一个运动电子的运动时间分割成大量不连续状态下对电子在核外存在的不同时刻势能状态的描述，而不是用其连续时间下的动能状态下的描述。
我们知道，一个电子在核外不同空间位置状态下，具有不同的动能和势能，但在有心力场下粒子运动的动势能是守恒的，也就是说，电子的一个势能态对应一个空间位置点，大量的不同势能态就会对应出不同的空间位置点，这些位置点在不同时刻下出现的空间分布符合ψ(s)=Ce^-ar函数分布形式，这就是说距核空间距离r与其位置上的势能V是存在一一对应关系的，同时也是说距核空间距离r与其空间位置点上的速率是存在一一对应关系的。
关键的问题是这些空间点上对应的速率为什么出现遵循几率分布呢？
我们以氢原子为例，在氢原子核有心力的作用下，如果将电子绕核运动不同时刻下的速率看作是变速的话，那么它与氢核结合最稳定态的速率v0所对应的空间位置点函数就是ψ(s)=Ce^-ar0，对于大于或小于r0空间位置点所对应的电子运动速率都是属于不稳定速率状态，但这些速率在以r0为半径的圆周长上下变化时表现为一种动态平衡，不过这种动态平衡是建立在稳定态（v0）与非稳定态（大于或小于v0）之间的动态平衡，这种动态平衡的特点是，在r0轨道两边的速率变化分布在遵守动势能守恒的同时，也遵循麦克斯韦速率统计分布。
可见，量子力学中的概率波概念与麦克斯韦的速率统计存在千丝万缕的关系，不认识到这一点，就无法知道量子力学概率的来源，也无法理解德布罗意物质波概念，更无法真正理解量子力学的奥秘。