原文链接: http://hankerzheng.com/blog/LeetCode-Median-of-Two-Sorted-Arrays
Problem Description
LeetCode 4 Median of Two Sorted Arrays
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
Examples:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5
中文大意:
给定两个排好序的数组, 求数组合并后的中位数, 要求在O(log (m+n))时间复杂度内完成
My Solution
因为时间复杂度是
log
级别的, 所以我们很容易就想到采用
binary search
来做, 但是怎么将求中位数转化为
binary search
呢? 本题目的基本概念就是
求中位数 => 求第k大的数
.
注意: 我们用
rank
表示一个数在数列中的大小的排序序号. 对于一个已经排序的数组
nums
, 我们可以说
nums[rank-1]
是数组
nums
中第
rank
小的数. 也就是说,
rank
是1-based index(以
1
为起始序号的标号方式).
由此我们可以得到一个定理, 假设我们在有序数列
nums1
中找到了
rank1
的数, 在有序数列
nums2
中找到了
rank2
的数, 并且有
nums1[k1 - 1] < nums2[k2 - 1]
, 那么
nums[k2 - 1]
的
rank
至少为
rank1 + rank2
,
nums1[k1 - 1]
的
rank
至多为
rank1 + rank2 - 1
.
这个定理也可以推广到
n
个有序数列中:
假设存在个有序数列
n
,
nums1
, …,
nums2
, 并且我们已知一组元素:
numsn
{nums1[rank1-1], nums2[rank2-1], ..., numsn[rankn-1]}
.
其中, 所有已知元素中的最大值为
, 所有已知元素最小值为
numsMax[rankMax-1]
numsMin[rankMin-1]
, 那么我们有:
-
在所有数中的
numsMax[rankMax-1]
至少为
rank
-
rank1 + rank2 + rank3 + ... + rankn
在所有数中的
numsMin[rankMin-1]
至多为
rank
.
rank1 + rank2 + rank3 + ... + rankn - n + 1
利用这个定理, 我们就可以求得两个有序数列中第
k
大的数:
- 先将
k
平分成两部分,
k = k1 + k2
- 判断
nums1[k1]
和
nums2[k2]
的大小, 较小的那个数的
rank
至多为
k-1
- 缩减搜索空间, 继续搜索
class Solution(object):
def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
length = len(nums1) + len(nums2)
leftRank = (length + ) /
rightRank = (length + ) /
return self.getRank(nums1, , nums2, , leftRank) / + self.getRank(nums1, , nums2, , rightRank) /
def getRank(self, nums1, start1, nums2, start2, rank):
if len(nums1) - start1 > len(nums2) - start2:
return self.getRank(nums2, start2, nums1, start1, rank)
elif len(nums1) - start1 <= :
return nums2[start2 + rank - ]
elif rank == :
return min(nums1[start1], nums2[start2])
rank1 = min(rank / , len(nums1) - start1)
rank2 = rank - rank1
if nums1[start1 + rank1 - ] > nums2[start2 + rank2 - ]:
return self.getRank(nums1, start1, nums2, start2 + rank2, rank - rank2)
elif nums1[start1 + rank1 - ] < nums2[start2 + rank2 - ]:
return self.getRank(nums1, start1 + rank1, nums2, start2, rank - rank1)
else:
return nums1[start1 + rank1 - ]
public class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int length = nums1.length + nums2.length;
int leftRank = (length + ) / ; // Rank is 1-base index
int rightRank = (length + ) / ; // Rank is 1-base index
return getRank(nums1, , nums2, , leftRank) /
+ getRank(nums1, , nums2, , rightRank) / ;
}
public int getRank(int[] nums1, int start1, int[] nums2, int start2, int rank){
if (nums1.length - start1 > nums2.length - start2){
return getRank(nums2, start2, nums1, start1, rank);
}else if (start1 >= nums1.length){
return nums2[start2 + rank - ];
}else if (rank == ){
return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
}
int rank1 = Math.min(rank / , nums1.length - start1);
int rank2 = rank - rank1;
if(nums1[start1 + rank1 - ] > nums2[start2 + rank2 - ]){
return getRank(nums1, start1, nums2, start2 + rank2, rank - rank2);
}else if (nums1[start1 + rank1 - ] == nums2[start2 + rank2 - ]){
return nums1[start1 + rank1 - ];
}else{
return getRank(nums1, start1 + rank1, nums2, start2, rank - rank1);
}
}
}