算法导论（第三版） 第三章思考题

http://www.cnblogs.com/Jiajun/archive/2013/05/06/3063574.html

3-1

a.

P(n)=∑i=0daini=nd∑i=0daini−d≤nd∑i=0dai≤cnk b. P(n)=∑i=0daini≥nd≥cnd c. 由前两问可证。

d. 同a

e. 同b

3-2

A	B	O	o	Ω	ω	Θ
lgkn	nϵ	yes	yes	no	no	no
nk	cn	no	no	yes	yes	no
n√	nsinn	no	no	no	no	no
2n	2n/2	no	no	yes	yes	no
nlgc	clgn	yes	no	yes	no	yes
lg(n!)	lg(nn)	yes	no	yes	no	yes

3-3

a.

22n+1>22n>(n+1)!>n!>en>n2n>2n>(3/2)n>(lgn)lgn=nlglgn>(lgn)! >n3>n2=4lgn>nlgn=lg(n!)>n=2lgn>(2√)lgn=n√>22lgn√>lg2n>lnn >lgn−−−√>lnlnn>2lg∗n>lg∗n=lg∗(lgn)>lg(lg∗n)>n1/lgn=2=1 b. 非连续性函数或者震荡函数就能满足要求，比如 f(n)={n,0, −1n>0  −1n<0 

3-4

a. 错误，举个反例 n=O(n2) ，而 n2≠O(n)  

b. 错误，举个反例 n+n2=O(n2)≠O(min(n,n2))=O(n)  

c. 正确， f(n)=O(g(n)) 表明存在正常数 c,n0 对所有 n≥n0 都有 f(n)≤cg(n) ，所以也有 lgf(n)≤lg(cg(n)) ，得证

d. 正确， f(n)=O(g(n)) 表明存在正常数 c,n0 对所有 n≥n0 都有 f(n)≤cg(n) ，所以也有 2f(n)≤2cg(n) ，得证

e. 正确，同理可证。

f. 正确，定义直接证明。

g. 错误，举个反例 2n=Θ(2n)=ω(2n/2)

h. 正确， g(n)=o(f(n)) 表明存在正常数 n0 对于任意正常数 c ，对所有 n≥n0 都有 g(n)<f(n) ，所以对于所有 n≥n0 都有 f(n)+o(f(n)))<f(n)+f(n)=2f(n) ，得证。

3-5

a. 只要证明 f(n)=O(g(n)) 的补集包含于 f(n)=Ω∞(g(n)) 中即可。 f(n)=O(g(n)) 表示存在正常数 c,n0 对所有 n≥n0 都有 f(n)≤cg(n) ，那么他的补集是不存在常数 c,n0 对所有 n≥n0 都有 f(n)≤cg(n) ，显然包含于 f(n)=Ω∞(g(n)) 中，因为如果存在正常数c对有限个n的话成立的话，就能找到一个 n0 大于有限个n中最大的那个，使得 f(n)≤cg(n) 成立。但是如果换成 Ω(g(n)) 的话，3-3b中的例子就是个反例。

b. 用符号 Ω(f(n)) 可以保证在n足够大的情况下算法复杂度都不低于 f(n) ，即最好的情况下也不低于 f(n) 。而使用符号 Ω∞(f(n)) 则表示该算法在很多时候复杂度都不低于 f(n) ，但在某些比较好的情况下有可能会低于 f(n) 。

c. 没有变化？求指教

d.

Ω~(g(n))={f(n):∃c,k,n0>0对∀n≥n0有0≤cg(n)lgk(n)≤f(n)} Θ~(g(n))={f(n):∃c1,c2,k,n0>0对∀n≥n0有0≤c1g(n)lgk(n)≤f(n)≤c2g(n)lgk(n)} 定理3.1由定义可知。

3-6

a.  Θ(n)

b.  Θ(lg∗n)

c.  Θ(lgn)

d.  Θ(lgn)

e.  Θ(lglgn)

f.  ∞

g.  Θ(lglgn)

h. 不会，求指教