蚁群算法
蚁群算法
蚁群算法是一种用来寻找优化路径的概率型算法。它由Marco Dorigo于1992年提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。这种算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。
蚁群算法的基本原理
1、蚂蚁在路径上释放信息素。
2、碰到还没走过的路口，就随机挑选一条路走。同时，释放与路径长度有关的信息素。
3、信息素浓度与路径长度成反比。后来的蚂蚁再次碰到该路口时，就选择信息素浓度较高路径。
4、最优路径上的信息素浓度越来越大。
5、最终蚁群找到最优寻食路径。
蚁群走过较短的那一侧的蚂蚁数数量会多于较长那一侧的，所以留下的信息素就会多，渐渐的蚂蚁就只走较短的那一侧了。
蚁群算法对TSP的求解主要有两大步骤：（TSP问题就是要找到最短哈密尔顿回路）
1、路径构建
AS中的随机比例规则；对于每只蚂蚁k，路径记忆向量R^k.按照访问顺序记录了所有k已经经过的城市序号。设蚂蚁k当前所在城市为i,则其选择城市j作为下一个访问对象的概率为:
2、信息素更新
这里m是蚂蚁个数, ρ是信息素的蒸发率，规定0≤ ρ≤1，在AS中通常设置为 ρ =0.5，Δτij是第k只蚂蚁在它经过的边上释放的信息素量，它等于蚂蚁k本轮构建路径长度的倒数。C^k表示路径长度，它是R^k中所有边的长度和。
构建图：构建图与问题描述图是一致的，成份的集合C对应着点的集合（即：C=N），连接对应着边的集合（即L=A）,且每一条边都带有一个权值，代表点i和j之间的距离。
约束条件：所有城市都要被访问且每个城市最多只能被访问一次。
信息素和启发式信息：TSP 问题中的信息素表示在访问城市i后直接访问城市j的期望度。启发式信息值一般与城市i和城市j的距离成反比。
解的构建：每只蚂蚁最初都从随机选择出来的城市出发，每经过一次迭代蚂蚁就向解中添加一个还没有访问过的城市。当所有城市都被蚂蚁访问过之后，解的构建就终止。
蚁群算法存在缺陷：
蚁群算法在解决小规模TSP问题是勉强能用，稍加时间就能发现最优解，但是若问题规模很大，蚁群算法的性能会极低，甚至卡死。所以可以进行改进，例如精英蚂蚁系统。
精英蚂蚁系统是对基础蚁群算法的一次改进，它在原AS信息素更新原则的基础上增加了一个对至今最优路径的强化手段。在每轮信息素更新完毕后，搜索到至今最优路径的那只蚂蚁将会为这条路径添加额外的信息素。精英蚂蚁系统引入 这种额外的信息素强化手段有助于更好的引导蚂蚁搜索的偏向，使算法更快收敛
针对不同影响因素进行测试
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量50，信息素重要程度因子1，启发函数重要程度因子5， 信息素挥发因子0.1在迭代次数在40次左右收束
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 0.5; % 信息素重要程度因子
beta = 10; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量50，信息素重要程度因子0.5，启发函数重要程度因子10， 信息素挥发因子0.1在迭代次数在15次左右收束 ，大幅减少迭代次数（降低了信息素，增加了启发函数重要程度因子）
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 0.1; % 信息素重要程度因子
beta = 10; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量50，信息素重要程度因子0.1，启发函数重要程度因子10， 信息素挥发因子0.1在迭代次数在60次左右收束 ，迭代次数不减反增，可见信息素重要程度因子不能过小
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 0.1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量50，信息素重要程度因子0.1，启发函数重要程度因子5， 信息素挥发因子0.1在迭代次数在55次左右收束，启发函数重要程度因子在超过一定数值后并不能有效降低，所以启发函数重要程度因子不宜超过5
m = 100; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量100，信息素重要程度因子1，启发函数重要程度因子5， 信息素挥发因子0.1在迭代次数在45次左右收束，增加蚁群数量后能一定程度上减少迭代次数，但是没有明显作用，且增加了运行时间成本，不建议过大。
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.2; % 信息素挥发因子
蚂蚁数量50，信息素重要程度因子1，启发函数重要程度因子5， 信息素挥发因子0.2在迭代次数在60次左右收束，信息素挥发因子在增大也没有更加明显的优化了，推荐0.1-0.2即可。
蚁群算法代码
%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc
%% 导入数据
load citys_data.mat
%% 计算城市间相互距离
fprintf(\'Computing Distance Matrix... \n\');
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
for j = 1:n
if i ~= j
D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
else
D(i,j) = 1e-4;
end
end
end
%% 初始化参数
fprintf(\'Initializing Parameters... \n\');
m = 50; % 蚂蚁数量
alpha = 1; % 信息素重要程度因子
beta = 5; % 启发函数重要程度因子
rho = 0.2; % 信息素挥发因子
Q = 1; % 常系数
Eta = 1./D; % 启发函数
Tau = ones(n,n); % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n); % 路径记录表
iter = 1; % 迭代次数初值
iter_max = 150; % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路径的长度
Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路径的平均长度
%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
fprintf(\'迭代第%d次\n\',iter);
% 随机产生各个蚂蚁的起点城市
start = zeros(m,1);
for i = 1:m
temp = randperm(n);
start(i) = temp(1);
end
Table(:,1) = start;
% 构建解空间
citys_index = 1:n;
% 逐个蚂蚁路径选择
for i = 1:m
% 逐个城市路径选择
for j = 2:n
tabu = Table(i,1:(j - 1)); % 已访问的城市集合(禁忌表)
allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合
P = allow;
% 计算城市间转移概率
for k = 1:length(allow)
P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
end
P = P/sum(P);
% 轮盘赌法选择下一个访问城市
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc >= rand);
target = allow(target_index(1));
Table(i,j) = target;
end
end
% 计算各个蚂蚁的路径距离
Length = zeros(m,1);
for i = 1:m
Route = Table(i,:);
for j = 1:(n - 1)
Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
end
Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
end
% 计算最短路径距离及平均距离
if iter == 1
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min_Length;
Length_ave(iter) = mean(Length);
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
[min_Length,min_index] = min(Length);
Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
Length_ave(iter) = mean(Length);
if Length_best(iter) == min_Length
Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
else
Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
end
end
% 更新信息素
Delta_Tau = zeros(n,n);
% 逐个蚂蚁计算
for i = 1:m
% 逐个城市计算
for j = 1:(n - 1)
Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
end
Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
end
Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
% 迭代次数加1，清空路径记录表
% figure;
%最佳路径的迭代变化过程
[Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
Shortest_Route = Route_best(index,:);
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],\'o-\');
pause(0.3);
iter = iter + 1;
Table = zeros(m,n);
% end
end
%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp([\'最短距离:\' num2str(Shortest_Length)]);
disp([\'最短路径:\' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],\'o-\');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
text(citys(i,1),citys(i,2),[\' \' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),\' 起点\');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),\' 终点\');
xlabel(\'城市位置横坐标\')
ylabel(\'城市位置纵坐标\')
title([\'蚁群算法优化路径(最短距离:\' num2str(Shortest_Length) \')\'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,\'b\',1:iter_max,Length_ave,\'r:\')
legend(\'最短距离\',\'平均距离\')
xlabel(\'迭代次数\')
ylabel(\'距离\')
title(\'各代最短距离与平均距离对比\') 总结
蚁群算法(AS)的缺点：
1、收敛速度慢（运行一次要等好久）
2、易于陷入局部最优
m -> 蚂蚁数量:
m数目越多,得到的最优解就越精确,但是会有蚂蚁重复路过同一城市,大量的重复增加了运行时间（100差不多了，运行好久）
alpha -> 信息素重要程度因子:
alpha值过大,蚂蚁选择之前走过的路径可能性就越大,蚁群搜索路径的随机性减弱。alpha值过小,蚁群搜索范围就会减少,易陷入局部最优解。（感觉1或者2就挺好）
beta -> 启发函数重要程度因子：
beta值增大,蚁群更容易选择局部较短路径,能加快算法的运行速度,但是可能陷入局部最优解（4或5就挺大的了）
rho -> 信息素挥发因子：
rho值初始设置为0.1，当rho很小的时候，每条路径的残留信息很多，会被反复搜索，增加运行时间。rho设置的很大的时候,会放弃搜索很多有效路径,可能会忽略最优值。