概率论与数理统计【一】- 随机事件与概率(1):古典概型与几何概型

本节为1. 古典概型求概率

  称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型，若其基本事件空间（样本空间）满足：

• 只有有限个基本事件（样本点）
• 每个基本事件发生的可能性都一样

  若古典概型的基本事件总数为 n n n，事件 A A A包含 k k k个基本事件，也称有利于 A A A的基本事件为 k k k个，则 A A A的概率为： P ( A ) = k n P(A)=\frac{k}{n} P(A)=nk​。

   e g eg eg(随机占位问题)：有五封信放入四个信箱，下列事件的概率为：

• 1. A 1 A_1 A1​：{第一、二号信箱各投入一封信}
• 2. A 2 A_2 A2​：{有一个信箱有三封信}
• 3. A 3 A_3 A3​：{仅有一个信箱没有信}
• 4. A 4 A_4 A4​：{第二个信箱没有信}

  解：

P ( A 1 ) = C 5 1 C 4 1 2 3 / 4 5 = 5 / 32 P(A_1)={C_5^1C_4^12^3}/{4^5}={5}/{32} P(A1​)=C51​C41​23/45=5/32

P ( A 2 ) = C 4 1 C 5 3 3 2 / 4 5 = 45 / 128 P(A_2)={C_4^1C_5^33^2}/4^5=45/128 P(A2​)=C41​C53​32/45=45/128

P ( A 3 ) = ( C 4 1 ( C 3 1 C 5 3 C 2 1 C 1 1 + C 3 1 C 5 1 C 4 2 C 2 2 ) ) 4 5 = 75 / 128 P(A_3)=\frac{(C_4^1(C_3^1C_5^3C_2^1C_1^1+C_3^1C_5^1C_4^2C_2^2))}{4^5}=75/128 P(A3​)=45(C41​(C31​C53​C21​C11​+C31​C51​C42​C22​))​=75/128

P ( A 4 ) = 3 5 / 4 5 = 243 / 1024 P(A_4)=3^5/4^5=243/1024 P(A4​)=35/45=243/1024

2. 几何概型求概率

  称随机试验的概率模型为几何概型，若：

• 样本空间 Ω \Omega Ω是一个可度量的几何区域
• 每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入 Ω \Omega Ω的某一可度量子区域 S S S的可能性与 S S S的几何度量成正比，而与 S S S的位置及形状无关。

  有：

P ( A ) = S A 的 几 何 度 量 Ω 的 几 何 度 量 P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量} P(A)=Ω的几何度量SA​的几何度量​

   e g eg eg(会面问题)：两人相约7点到8点之间到某地点会面，先到者等另一人20分钟就可以离去，求二人会面的概率。

  解：我们设一个人到达的时间为x，设另一人到达的时间为y，有 0 ≤ x ≤ 60 , 0 ≤ y ≤ 60 0\leq x\leq 60,0\leq y\leq 60 0≤x≤60,0≤y≤60，绘制在平面直角坐标系中，是一个正方形区域，也就是上文对应的 Ω \Omega Ω，二人会面成功，则要求 ∣ x − y ∣ ≤ 20 |x-y|\leq 20 ∣x−y∣≤20，在平面直角坐标系中，是一个不规则的带状区域，也就是上文提到的 S A S_A SA​，则最后结果为 S A / Ω S_A/\Omega SA​/Ω。

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