整数规划问题

问题描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，

其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。

正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

例如正整数6有如下11种不同的划分：

6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1。

假设： 将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)

分析：

有如下几种情况：

1. q(n,1) n≥1；

   当最大数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式： n=1+1+…+1(共n个)

2. q(n,m) m≥n

   q(n,n)；最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。

3. q(n,n)

   1+q(n,n-1)；正整数n的划分由n1=n的划分和n1≤n-1的划分组成。

4. q(n,m) n>m>1

   q(n,m-1)+q(n-m,m),n>m>1；正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1≤m-1 的划分组成。

可得关系式：

C++代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int f(int n,int m){
    if(n<1)
        return 0;
    else if(n==1||m==1)
        return 1;
    else if(n<m) return f(n,n);
    else if(n==m) return f(n,m-1)+1;
    return f(n,m-1)+f(n-m,m);
}
int main(){
    int n;
    n=f(6,4);    
    cout<<n<<" ";    return 0;
}