Chapter6：求解微分问题

• 6.求解微分问题
• • 6.1 使用定义求导
  • 6.2 用更好的办法求导
  • • 6.2.1 函数的常数倍
    • 6.2.2 函数和与函数差
    • 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
    • 6.2.4 通过商法则求商函数的导数
    • 6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
    • 6.2.6 复杂函数求导例子
    • 6.2.7 乘积法则和链式求导法则的证明
    • • 证明两个函数的乘积法则
      • 证明三个函数的乘积法则
      • 链式求导法则证明
  • 6.3 求切线方程
  • 6.4 速度和加速度
  • 6.5 导数伪装的极限
  • 6.6 分段函数的导数
  • 6.7 直接画出导函数的图像

6.求解微分问题

6.1 使用定义求导

遇到 0 0 \frac{0}{0} 00​的不定式，基本思想是通过通分来化简分子

例子：

6.2 用更好的办法求导

一个函数求导的关键是，理解它是如何由简单函数合成的

6.2.1 函数的常数倍

g ( x ) = c f ( x ) g ′ ( x ) = c f ′ ( x ) g(x)=cf(x)\\ g'(x)=cf'(x) g(x)=cf(x)g′(x)=cf′(x)

6.2.2 函数和与函数差

g ( x ) = f ( x ) + h ( x ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + h ′ ( x ) g ( x ) = f ( x ) − h ( x ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − h ′ ( x ) g(x)=f(x)+h(x)\\ g'(x)=f'(x)+h'(x)\\ g(x)=f(x)-h(x)\\ g'(x)=f'(x)-h'(x) g(x)=f(x)+h(x)g′(x)=f′(x)+h′(x)g(x)=f(x)−h(x)g′(x)=f′(x)−h′(x)

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数

每一个变量都做一次微分运算

6.2.4 通过商法则求商函数的导数

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数

d y d x \frac{dy}{dx} dxdy​并不是分数，它们是分数 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy​的极限，不能进行约分

例子：

6.2.6 复杂函数求导例子

复杂函数分解为简单函数，然后使用链式法则进行求导

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的证明

证明两个函数的乘积法则

两个量 u ， v u，v u，v 都依赖于某个量 x x x，如果 x x x 有一个小的变化量 Δ x \Delta x Δx，乘积 u v uv uv 将如何变化 ？

u u u 变成 u + Δ u u+\Delta u u+Δu

v v v 变成 v + Δ v v+\Delta v v+Δv

u v uv uv 变成 ( u + Δ u ) ( v + Δ v ) (u+\Delta u)(v+\Delta v) (u+Δu)(v+Δv)

面积改变 Δ ( u v ) = u Δ v + v Δ u + Δ u Δ v \Delta(uv)=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v Δ(uv)=uΔv+vΔu+ΔuΔv

当量 Δ u \Delta u Δu 和 Δ v \Delta v Δv 非常小时， Δ u Δ v \Delta u\Delta v ΔuΔv事实上会非常非常小，基本忽略不计

将上式除以 Δ x \Delta x Δx ，然后取极限，近似符号就会变为等号，得到乘积法则

证明三个函数的乘积法则

链式求导法则证明

u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 当 x x x 变化 Δ x \Delta x Δx时， u u u变化可近似看成 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 乘以 x x x 的变化（可将 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 看作是一种拉伸因子）【Chapter5 中 5.2.7 作为极限比的导数阐释了这种思想】

当 x x x 变化 Δ x \Delta x Δx时， u u u 变化 g ′ ( x ) Δ x g'(x)\Delta x g′(x)Δx

y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)， u u u 变化 Δ u \Delta u Δu， y y y 变化 f ′ ( u ) Δ u f'(u)\Delta u f′(u)Δu

替换 Δ u \Delta u Δu

x x x 的变化首先被因子 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 拉伸了，然后又被因子 f ′ ( u ) f'(u) f′(u) 拉伸了

上式左右同除以 Δ x \Delta x Δx 然后取极限

链式求导法则的第一种形式

u = g ( x ) ， y = f ( u ) u=g(x)，y=f(u) u=g(x)，y=f(u)，得到 y = h ( x ) = f ( g ( x ) ) y=h(x)=f(g(x)) y=h(x)=f(g(x))

链式求导法则的第二种形式

6.3 求切线方程

6.4 速度和加速度

时刻 t t t 的位置 x x x

6.5 导数伪装的极限

给出的极限在形式上与导数定义类似

如果使用洛必达法则，甚至不需要去识别一个极限是否是一个伪装的导数

例子：

例子：

6.6 分段函数的导数

例子1：

检验连接点上的连续性

左极限 = = = 右极限，则双侧极限存在且等于 1 1 1，双侧极限与 f ( 0 ) f(0) f(0)处的值相等，故函数在连接点 x = 0 x=0 x=0 上连续

检验连接点上的可导性

左导数 = = = 右导数，所以函数在连接点 x = 0 x=0 x=0 处可导

例子2：

检验函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 上的情况

检验连接点上的连续性

左极限 = = = 右极限，则双侧极限存在且等于 0 0 0，双侧极限与 f ( − 2 ) f(-2) f(−2)处的值相等，故函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 上连续

检验连接点上的可导性

左导数 ≠ \neq ​= 右导数，函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 处不可导

检验函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 上的情况

检验连接点上的连续性

左极限 = = = 右极限，则双侧极限存在且等于 3 3 3，双侧极限与 f ( 1 ) f(1) f(1)处的值相等，故函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 上连续

检验连接点上的可导性

左导数 = = = 右导数，函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 处可导

6.7 直接画出导函数的图像