Chapter6:求解微分问题
- 6.求解微分问题
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- 6.1 使用定义求导
- 6.2 用更好的办法求导
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- 6.2.1 函数的常数倍
- 6.2.2 函数和与函数差
- 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
- 6.2.4 通过商法则求商函数的导数
- 6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
- 6.2.6 复杂函数求导例子
- 6.2.7 乘积法则和链式求导法则的证明
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- 证明两个函数的乘积法则
- 证明三个函数的乘积法则
- 链式求导法则证明
- 6.3 求切线方程
- 6.4 速度和加速度
- 6.5 导数伪装的极限
- 6.6 分段函数的导数
- 6.7 直接画出导函数的图像
6.求解微分问题
6.1 使用定义求导
遇到 0 0 \frac{0}{0} 00的不定式,基本思想是通过通分来化简分子
例子:
6.2 用更好的办法求导
一个函数求导的关键是,理解它是如何由简单函数合成的
6.2.1 函数的常数倍
g ( x ) = c f ( x ) g ′ ( x ) = c f ′ ( x ) g(x)=cf(x)\\ g'(x)=cf'(x) g(x)=cf(x)g′(x)=cf′(x)
6.2.2 函数和与函数差
g ( x ) = f ( x ) + h ( x ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + h ′ ( x ) g ( x ) = f ( x ) − h ( x ) g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − h ′ ( x ) g(x)=f(x)+h(x)\\ g'(x)=f'(x)+h'(x)\\ g(x)=f(x)-h(x)\\ g'(x)=f'(x)-h'(x) g(x)=f(x)+h(x)g′(x)=f′(x)+h′(x)g(x)=f(x)−h(x)g′(x)=f′(x)−h′(x)
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
每一个变量都做一次微分运算
6.2.4 通过商法则求商函数的导数
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
d y d x \frac{dy}{dx} dxdy并不是分数,它们是分数 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy的极限,不能进行约分
例子:
6.2.6 复杂函数求导例子
复杂函数分解为简单函数,然后使用链式法则进行求导
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的证明
证明两个函数的乘积法则
两个量 u , v u,v u,v 都依赖于某个量 x x x,如果 x x x 有一个小的变化量 Δ x \Delta x Δx,乘积 u v uv uv 将如何变化 ?
u u u 变成 u + Δ u u+\Delta u u+Δu
v v v 变成 v + Δ v v+\Delta v v+Δv
u v uv uv 变成 ( u + Δ u ) ( v + Δ v ) (u+\Delta u)(v+\Delta v) (u+Δu)(v+Δv)
面积改变 Δ ( u v ) = u Δ v + v Δ u + Δ u Δ v \Delta(uv)=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v Δ(uv)=uΔv+vΔu+ΔuΔv
当量 Δ u \Delta u Δu 和 Δ v \Delta v Δv 非常小时, Δ u Δ v \Delta u\Delta v ΔuΔv事实上会非常非常小,基本忽略不计
将上式除以 Δ x \Delta x Δx ,然后取极限,近似符号就会变为等号,得到乘积法则
证明三个函数的乘积法则
链式求导法则证明
u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) 当 x x x 变化 Δ x \Delta x Δx时, u u u变化可近似看成 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 乘以 x x x 的变化(可将 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 看作是一种拉伸因子)【Chapter5 中 5.2.7 作为极限比的导数阐释了这种思想】
当 x x x 变化 Δ x \Delta x Δx时, u u u 变化 g ′ ( x ) Δ x g'(x)\Delta x g′(x)Δx
y = f ( u ) y=f(u) y=f(u), u u u 变化 Δ u \Delta u Δu, y y y 变化 f ′ ( u ) Δ u f'(u)\Delta u f′(u)Δu
替换 Δ u \Delta u Δu
x x x 的变化首先被因子 g ′ ( x ) g'(x) g′(x) 拉伸了,然后又被因子 f ′ ( u ) f'(u) f′(u) 拉伸了
上式左右同除以 Δ x \Delta x Δx 然后取极限
链式求导法则的第一种形式
u = g ( x ) , y = f ( u ) u=g(x),y=f(u) u=g(x),y=f(u),得到 y = h ( x ) = f ( g ( x ) ) y=h(x)=f(g(x)) y=h(x)=f(g(x))
链式求导法则的第二种形式
6.3 求切线方程
6.4 速度和加速度
时刻 t t t 的位置 x x x
6.5 导数伪装的极限
给出的极限在形式上与导数定义类似
如果使用洛必达法则,甚至不需要去识别一个极限是否是一个伪装的导数
例子:
例子:
6.6 分段函数的导数
例子1:
检验连接点上的连续性
左极限 = = = 右极限,则双侧极限存在且等于 1 1 1,双侧极限与 f ( 0 ) f(0) f(0)处的值相等,故函数在连接点 x = 0 x=0 x=0 上连续
检验连接点上的可导性
左导数 = = = 右导数,所以函数在连接点 x = 0 x=0 x=0 处可导
例子2:
检验函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 上的情况
检验连接点上的连续性
左极限 = = = 右极限,则双侧极限存在且等于 0 0 0,双侧极限与 f ( − 2 ) f(-2) f(−2)处的值相等,故函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 上连续
检验连接点上的可导性
左导数 ≠ \neq = 右导数,函数在连接点 x = − 2 x=-2 x=−2 处不可导
检验函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 上的情况
检验连接点上的连续性
左极限 = = = 右极限,则双侧极限存在且等于 3 3 3,双侧极限与 f ( 1 ) f(1) f(1)处的值相等,故函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 上连续
检验连接点上的可导性
左导数 = = = 右导数,函数在连接点 x = 1 x=1 x=1 处可导