引言
备受瞩目的技术升级 Taproot 软分叉将于最近激活，激活高度为 709632，距今已不足 500 个区块。此次升级包括三个改进提案，分别是 BIP - 340、BIP - 341 和 BIP - 342。其中，BIP - 340 引入了 Schnorr 签名，BIP - 342 结合先前的技术，制定了隔离见证 V1 版的花费规则，而 BIP - 342 则对前面脚本更新后的验证方式做了指导。今天，我们就一起来了解下 BIP - 340 中提到的 Schnorr 签名。
Schnorr 签名
Schnorr 签名是由德国著名密码学家 Claus Schnorr 在上世纪八十年代发明的一种数字签名算法。该算法一直受专利保护，直到 2008 年才到期。和其它数字签名算法一样，Schnorr 算法也包括三个步骤：
- 密钥生成。该步骤的输入是一个安全参数，比如签名长度。它的输出是一个公私钥对，其中私钥用来签名，公钥用来验证签名；
- 签名。该步骤的输入是消息和私钥，输出是用该私钥对该消息的签名结果；
- 验签。该步骤的输入是消息和公钥，输出是一个比特，用来指示该签名是否通过验证。
*在上面的步骤描述中，我们省略了公开参数的描述。
Schnorr 签名算法也是定义在群上：
假定我们拥有一个素数阶 的群 ，它的生成元是 ，并且该群上离散对数问题是困难的。另外，假定存在一个密码学哈希函数 ，任意比特串经过该哈希函数作用后，输出的哈希摘要在 中。
这里需要指出的是，在 BIP - 340 的实现中，Schnorr 算法的使用方式要比我们下面描述的复杂，但核心就是基于下面这些步骤：
用户在使用 Schnorr 签名前
用户从一个特定的区间 （） 中均匀随机选取 作为自己的签名私钥，然后根据公式 生成对应的验证公钥 。
用户对任意消息 进行签名
首先从特定区间选择一个随机数 ，然后计算 。接着将 和待签名消息 进行串联，并计算其哈希值，即计算 ，最后计算 。计算完成后，用户输出 （） 作为对消息 的签名结果。
验证者收到消息 和签名值 （） 后
将对该签名进行验证。他首先计算 。在得到 后，接着计算 。验证者验证 是否和 相等，如果相等，则认为该签名有效，反之则认为该签名无效。
正确性与安全性
可以看到 Schnorr 签名算法非常简单高效。Schorr 签名算法是将密码学中著名的 Fiat-Shamir 转换应用到 Schnorr 身份鉴别协议转换而来。算法的正确性显而易见，它的安全性也在相应的安全模型下得到了证明。
同时，就像 BIP - 340 中指出的一样，Schnorr 签名不存在延展性的问题。
我们在前面的技术视点中讲过，ECDSA 具有延展性，即可以从一个 ECDSA 签名中快速推出另外一个对相同消息的有效签名结果。为了防止延展性，一般区块链系统都对 ECDSA 签名结果进行了限定。而采用 Schnorr 签名不存在这样的隐患。
另外，我们前面的技术视点也对 ECDSA 签名时随机数重用的问题进行了分析，得出了同一个签名者使用 ECDSA 签名算法对不同消息进行签名时，重用随机数将泄漏用户私钥。在 Schnorr 签名中，我们可以看到，重用随机数的安全威胁依然存在。假定 （） 和 （） 是两个采用相同随机数 的签名，那么有：
s_1 – s_2 = -x(e_1-e_2)
从该式中很容易推导出用户私钥 。因此，在使用 Schnorr 签名时，也必须避免随机数重用。
结语
Schnorr 签名算法的引进给区块链系统带来了更多优秀的特性，比如 BIP - 340 中提到的更具隐私性的多签方案等。
我们也将在以后的技术视点中对 Schnorr 签名算法在区块链系统中的应用作进一步了解