数据降维（PCA、KPCA、PPCA）及C++实现

1、何为数据降维

1.1维数灾难：往往满足采样条件所需的样本数目巨大、样本稀疏、距离计算困难。

1.2降维：利用数学变换将原始高维属性空间转变为低维“子空间”，即在高维采样数据中提取能够表达原始数据的特征。

1.3 降维优点：数据集更易懂、使用和显示；降低算法计算开销；去除噪声。

2、一些降维算法

Principal Component Analysis （PCA）

Linear Discriminant Analysis（LDA）

Locally linear embedding（LLE）

Laplacian Eigenmaps

本文主要针对以下三种算法：

2.1 PCA：PCA算法是一种线性投影技术，利用降维后使数据的方差最大原则保留尽可能多的信息；

2.2 KPCA：PCA仅考虑了数据的二阶统计信息，而没有利用高阶统计信息，忽略了数据的非线性相关性，而KPCA，通过非线性变换将数据映射到了高维，在高维空间中进行特征提取，获得了更好的特征提取性能；

2.3 PPCA：PCA没有将数据的概率分布考虑，PPCA对PCA做了概率上的解释，延伸了PCA算法。

总之：PPCA和KPCA都是针对PCA算法的缺陷，做出了不同方向上的改进。

3 PCA、KPCA、PPCA算法步骤

3.1 PCA： 数据在低维线性空间上的正交投影，这个线性空间被称为主子空间，使得投影数据的方差被最大化。

》将原始数据按列组成n行m列矩阵X；

》将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值；

》求出协方差矩阵C；

》求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量；

》将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P；

》Y=PX即为降维到k维后的数据。

3.2 KPCA：通过使用一个非线性核替换线性的方式来对高维数据向低维投影。

》将原始数据按列组成m行n列矩阵X；

》计算核矩阵，先选定高斯径向核函数中的参数，计算核矩阵K，修正核矩阵得到KL；

》求出协方差矩阵C，运用雅可比迭代方法计算KL特征值与特征向量；

》将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵；

》通过施密特正交化方法单位正交化特征向量得到P；

》Y=PX即为降维到k维后的数据。

3.3 PPCA：PPCA是一种考虑每个变量概率分布的方法，在确定主元和误差的概率函数后，通过期望最大（EM）算法建立模型。

》将原始数据按列组成n行m列矩阵；

》对原始训练样本数据进行标准中心化处理得到X；

》在隐含变量x 的条件下得到观测数据的概率分布；

》通过EM 算法获得概率PCA 的模型参数W(因子矩阵)和方差；

》舍去不满足因子矩阵与方差特定关系的归一化数据；

》剩余满足条件数据即为降维到k维后的数据。

4、C++实现PCA、KPCA

（环境：Visual Studio 2013）

pca.h
    #include<math.h>    
     #include<fstream>    
     #include<iostream>    
     #include<stdio.h>    
     #include<iomanip>    
     #include<math.h>
     using namespace std;
      
     typedef struct sourcedata      //声明了一个原始数据类型
     {
         int m;
         int n;
         double **data;
     }SourceData;
     class PCA
     {
     public:
         PCA(int m, int n);                                //m为行数，n为列数    
         SourceData getdata(const  char *file);           //获取外部数据
         void standarddata(double **a);                  //数据标准化
         double  product(double *a, double *b);         //向量乘积
         void  swap(double &x, double &y);             //数据交换
         double  **matrixproduct(double **a);            //求解协方差矩阵
         void  selectionsort(double *A, double **v);     //特征值排序
         void  zhengjiao(double **v);                   //向量正交化
         int jcb(double **a, double **v, double eps, int jt);         //求解特征值和特征向量
         int selectcharactor(double *A, double getratio, double *B); //提取主分量
         double  **getProject(int t, double **x, double **v);        //计算降维后特征点  
         void   saveProject(const char *projectfile, double **project, int t); //保存
         ~PCA(){}
     private:
         int  rows;
         int columns;
     };kpca.h
    #include<math.h>
     #include<fstream>
     #include<iostream>
     #include<stdio.h>
     #include<iomanip>
     #include<math.h>
     #include<stdlib.h>
     #include<time.h>
     using namespace std;
      
     class KPCA
     {
     public:
         KPCA(int m, int n);
         SourceData getdata(const char *file); //获取外部数据
         int randdef(int n1, int n2); //生成n1到n2随机整数
         double getvar(double **testdata, int m, int n, int l, double left, double right);//通过对随机样本的最大特征提取效率获取高斯径向基函数的参数
         double product(double *a, double *b, int size);  //向量乘积
         double kernel(double var, double *x, double *y, int sign);  //核函数定义
         double **getkernelmatrix(double **a, double var, int sign); //获取核矩阵
         double **modifykernelmatrix(double **K);  //修正核矩阵
         int jcb(double **a, double **v, double eps, int jt);    //求解矩阵的特征值和特征向量    
         void zhengjiao(double **v); //正交化特征向量
         void swap(double &x, double &y); //交换元素
         void selectionsort(double *A, double **v);  //特征值和特征向量选择排序
         void saveeigenvectors(double A[], double **v, const char *vectorfile);//保存特征值和特征向量
         int selectcharactor(double *A, double getratio, double *B);  //提取特征
         double  **getProject(int t, double **x, double **v);  //获得投影
         void saveProject(const char *projectfile, double **project, int t);  //保存投影
         ~KPCA(){}
     private:
         int  rows;
         int columns;
     };pca.cpp与kpca.cpp由于篇幅问题未分享，
main.cpp
    #include"pca.h"    
     #include"kpca.h"
     void main()
     {
         //pca
      
         cout << "-----------------------pca------------------------" << endl;
         int i, j, t;                                                        //i,j循环用；t降维后维数
         int m, n;                                                           //m行n列
         double **x, **c, **v, **Project;                                      
         double *A, *B;                                                         //A特征值B贡献率
         sourcedata pp;
         double eps = 0.000001;                                              //雅克比方法的终止精度            
         double getratio = 0.9;                                              //特征值的提取率      
         const  char *File = "test1.txt";                                    //原始数据文件名称    
         const char *projectfile = "pcaproject.txt";                         //处理后的数据文件名称    
         PCA pca(2, 3);                                                      //声明一个临时对象调用成员函数来获取数据    
         pp = pca.getdata(File);                                             //获取外部数据    
         x = pp.data;
         m = pp.m;
         n = pp.n;
      
         cout << "数据的行数为" << m << "，数据的列数为 " << n << endl;
         A = new double[n];                                           //存放特征值
         B = new double[n];                                          //存放特值贡献率
         v = new double*[n];                                          //存放特征向量
         for (i = 0; i < n; i++)
             v[i] = new double[n];
      
      
         PCA  testpca(m, n);                                        //声明一个对象并初始化           
         testpca.standarddata(x);                                   //对数据进行标准化处理   X是原始数据        
         c = testpca.matrixproduct(x);                              //    求协方差矩阵  
         i = testpca.jcb(c, v, eps, 100);                           //    求特征值和特征向量    
         for (int k = 0; k < n; k++)
             A[k] = c[k][k];                                        //存特征值    
         testpca.zhengjiao(v);                                     //正交化特征向量    
         testpca.selectionsort(A, v);                              //特征值和特征向量排序        
         t = testpca.selectcharactor(A, getratio, B);              //提取特征值 t为降维后维数   
      
      
         cout << "PCA降维后的维数：" << t << endl;
         cout << "排序后提取的特征值及对应的特征向量" << endl;
         for (i = 0; i <= t - 1; i++)                              //输出特征值
             printf("%13.7e  ", A[i]);
         printf("\n\n");
      
         for (i = 0; i < n; i++)                                    //输出特征向量
         {
             for (j = 0; j < t; j++)
                 printf("%13.7e  ", v[i][j]);
             printf("\n");
      
         }
         cout << "特征值的累计贡献率为" << endl;
         for (i = 0; i < n; i++)
             cout << B[i] << "  ";
         cout << endl;
         cout << "当提取效率是" << getratio << "时提取了前" << t << "个分量" << endl;     //getratio特征提取率
         if (t >= 1 && t <= n)
             Project = testpca.getProject(t, x, v);                //求降维后特征点       
         else
             cout << "error" << endl;
         testpca.saveProject(projectfile, Project, t);             //保存特征点到TXT文件  
      
      
      
         //kpca
      
         cout << endl<< "----------------------kpca------------------------" << endl;
         int a;                                                      //循环用
         int l = 50;                                                 //随机提取样本的数目    
         const char *File2 = "test2.txt";
         const char*eigenvectors = "eigen.txt";                     //特征值和特征向量存储文件名称
         const char *projectfile2 = "kpcaproject.txt";              //降维后特征点文件存储名称
         SourceData pdata;
         double  gaussparameter;                                    //高斯核参数
         double **K, **KL;                                           //高斯核矩阵k及修正核矩阵    
         KPCA kpca(3, 2);
         pdata = kpca.getdata(File2);                               //获取外部数据
         x = pdata.data;
         m = pdata.m;
         n = pdata.n;
         A = new double[m];
         B = new double[m];
      
         KPCA  testkpca(m, n);                                        //对象    
         gaussparameter = testkpca.getvar(x, m, n, l, 100, 800);       //求高斯核参数    通过对随机样本的最大特征提取效率获取高斯径向基函数的参数
         cout << "高斯核参数： " << gaussparameter << endl;
         K = testkpca.getkernelmatrix(x, gaussparameter, 1);          //求核矩阵
         KL = testkpca.modifykernelmatrix(K);                        //求修正核矩阵    
         c = new double*[m];                                         //定义c、v二维数组
         for (a = 0; a<m; a++)
             c[a] = new double[m];
         v = new double*[m];
         for (a = 0; a<m; a++)
             v[a] = new double[m];
         for (a = 0; a<m; a++)                                        //修正核矩阵放入c
             for (j = 0; j<m; j++)
                 c[a][j] = KL[a][j];
         a = testkpca.jcb(c, v, eps, 10000);                            //求取特征值和特征向量
         cout << "计算特征值的迭代次数为" << a << endl;
         if (a != -1)
         {
             for (a = 0; a<m; a++)
                 A[a] = c[a][a];                                     //特征值存入A
         }
         else
             cout << "不能求得特征值和特征向量" << endl;
         testkpca.zhengjiao(v);                                      //正交化特征向量
         testkpca.saveeigenvectors(A, v, eigenvectors);
         testkpca.selectionsort(A, v);                             //特征值和特征向量排序    
         t = testkpca.selectcharactor(A, getratio, B);            //提取特征值    
      
         cout << "特征值的累计贡献率是" << endl;
         for (a = 0; a<m; a++)
             cout << B[a] << "  ";
         cout << endl;
         cout << "当提取效率为" << getratio << "时提取了前" << t << "个分量" << endl;
         if (t >= 1 && t <= m)
             Project = testkpca.getProject(t, KL, v);                //求降维后特征点
         else
             cout << "error" << endl;
         testkpca.saveProject(projectfile2, Project, t);               //存入TXT文件
     }      

结果分析

工程目录

4.1、pca原始线性数据集，即工程目录下test1.txt文件，共6维数据，每个维度150个特征点，部分数据截图如下：

经过pca算法降维后，生成工程目录下pcaproject.txt文件，数据变为4维：