Ignatius and the Princess III - 拆分数-动态规划（dp）

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2017-08-10 20:00:45

writer：pprp

拆分数：

　　把正整数n拆分成k个正整数之和的方案数；

问题转换：将1转化为2

　　1、把n表示成m个正整数之和的方案数

　　2、把n表示成不超过m的正整数之和的方案数 

两者答案相同：解释Ferrers图

用dp来做，dp[i][j]的意思是 i 表示成 不超过 j 的方案数

边界条件：

　　dp[0][j] = 1 , dp[[i][1] = 1 , dp[1][j] = 1;

状态转移:

　　dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-j][j];　　

　　n个数划分成不超过m的整数的方案，若最大数为m，那么把最大数去掉，等价于把n-m分成不超过m的整数的方案，

　　若最大数不是m，那么等价于把n分成不超过m-1的方案数

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int maxn = 130;
int dp[maxn][maxn];

void DP()
{
    for(int i = 1; i < maxn ; i++)
    {
          dp[i][1] = dp[1][i] = dp[0][i] = 1;
    }
    for(int i = 2 ; i < maxn ; i++)
    {
        for(int j = 2 ; j < maxn ; j++)
        {
              if(i >= j)
                  dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
              else
                  dp[i][j] = dp[i][i];
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));

    DP();

    while(cin >> n)
    {
        cout << dp[n][n] << endl;
    }
    return 0;
}      

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