题解 P2350 【[HAOI2012]外星人】

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还是本宝宝写题解的一贯习惯 $ :$ 先吐槽吐槽这道题$……$

相信不少同学第一眼一定没有看懂题。（因为我也没看懂）

~~初中~~数学知识：

对于函数 $ f(x)$ 有 $f^{-1}(x)$ 为该函数的反函数。

而当 $ n∈N^{*} $ 时， $f^{n}(x)$ 表示$f(x)$ 的 $n$阶导数。

于是本宝宝看到这题后~~一脸懵逼~~炸了：

喵 $ ?$ $ $ $ !$  出题人您来告诉我欧拉函数怎么求导$ !$ $ $ $ !$ $ $ $ !$

看一眼题解，才知道$……$

我的数学白学了$?!!$

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转入正题 $:$

其实，给定 $n$ ，让你求 $x$ 使得

 $$\varphi^{x}(N)=1$$

 的意思其实是：

 每次取 $N=\varphi(N)$ 问至少操作几次后使得 $N=1$

 也就是说$:$

 $$\varphi(\varphi(…\varphi(N)))=1$$

 的最少取 $\varphi$ 的次数即为$ x $

 ---

 好了我们终于理解完题意了。

 现在我们可以开始做题了。

 这里要引用一句~~名言~~:

 如果你是一个在省选考场即将$AK$的人，闲来无事，打了一个 $\varphi(1)-\varphi(1000000)$的表。

 然后你惊奇的发现，只有当 $ n$ $=$ $1,2$ 时欧拉函数值是 $0$

 然后这玩意要是 $ 1$ 的话，答案显然。

 其余的，就根据

 $$\varphi(\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{q_{i}})=\prod^{m}_{i=1}(p_{i}-1)*p_{i}^{q_{i}-1}$$

 所以，每次操作会将上一次操作的答案中的一个因子$2$变为$1$

所以，求操作过程中会产生多少个因子$2$就好了。

下面来讨论特例：

$1.$ 对于 $ 2^{n}$ $,$ 我们的操作次数是 $n$ $,$ 显然是这样的。

$2.$ 对于一开始是一个质数，我们第一次操作不会将其中的一个因子$2$变为$1$，所以，这时候 $ans++$

好了，上代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long//个人习惯

int pni[100010];//欧拉函数值
bool ins[100010];//标记有没有被筛过
int prime[100010];//记录质数
int cnt;//质数个数
inline void init(){
    pni[1]=1;
    for(int i=2;i<=100000;i++){
        if(!ins[i]) prime[++cnt]=i,pni[i]=pni[i-1];
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=100000;j++)
        {
            ins[prime[j]*i]=true;
            pni[prime[j]*i]=pni[prime[j]]+pni[i];
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
    return ;
}
//以上是欧拉线性筛的模板。

int t;
int n;int ans=1;
int p;int q;
signed main()
{
    init();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld%lld",&p,&q);
            if(p==2) ans--;
            ans+=pni[p]*q;//统计答案
        }
        printf("%lld\n",ans);
        ans=1;
    }
    return 0;//程序拜拜。
}