画圆形(Bresenham算法)

下面先简要介绍常用的画圆算法（Bresenham算法），然后再具体阐述笔者对该算法的改进。

    一个圆，如果画出了圆上的某一点，那么可以利用对称性计算余下的七段圆弧：Plot(x，y)，Plot(y，x)，Plot(y，-x)，Plot(x，-y)，Plot(-x，-y)，Plot(-y，-x)，Plot(-y，x)，Plot(-x，y)。

    1、Bresenham 画圆算法。Bresenham算法的主要思想是：以坐标原点（0，0）为圆心的圆可以通过0度到45°的弧计算得到，即x从0增加到半径，然后利用对称性计算余下的七段圆弧。当x从0增加到时，y从R递减到。

    设圆的半径为R，则圆的方程为：

    f(x，y)＝(x+1)2+y2-R2＝0                                   (1)

    假设当前列（x=xi列）中最接近圆弧的像素已经取为P(xi，yi)，根据第二卦限1/8圆的走向，下一列（x=xi+1列）中最接近圆弧的像素只能在P的正右方点H(xi+1，yi)或右下方点L(xi+1，yi-1)中选择，如图1所示。Bresenham画圆算法采用点T(x，y)到圆心的距离平方与半径平方之差D(T)作为选择标准，即

    D(T)=(x+1)2+y2-R2                                         (2)

    通过比较H、L两点各自对实圆弧上点的距离大小，即根据误差大小来选取，具有最小误差的点为绘制点。根据公式(2)得：

    对H(xi+1，yi)点有：D(H)=(xi+1)2+yi2-R2；

    对L(xi+1，yi-1)点有：D(L)=(xi+1)2+(yi-1)2-R2；

    根据Bresenham画圆算法，则选择的标准是：

    如果|D(H)|<|D(L)|，那么下一点选取H(xi+1，yi)；

    如果|D(H)|>|D(L)|，那么下一点选取L(xi+1，yi-1)；

    如果|D(H)|=|D(L)|，那么下一点可以取L(xi+1，yi-1)，也可以选取H(xi+1，yi)，我们约定选取H(xi+1，yi)。

    图1  Bresenham画圆算法点的选取

    综合上述情况，得：

    当|D(H)|>|D(L)|时，选取L点(xi+1，yi-1)为绘制点坐标；

    当|D(H)|<|D(L)|时，选取H点(xi+1，yi)为绘制点坐标。

    然后将选取的点坐标作为当前坐标，重复上述过程直至xi=或者yi=为止，(xi，yi)的初始值为（0，R）。

    以上便是Bresenham算法的主要思想，但是上述算法是在一个假设下：以坐标原点（0，0）为圆心。该假设实际上只是为了方便算法的研究。但在实际嵌入式LCD显示设备中，往往圆心坐标不是（0，0）点，而是以左上角为（0，0）点，这样就使得在实际运用中，需要对这个算法做很大的改进。

    另外，如果完全按照Bresenham画圆算法，那么就会涉及到浮点运算，这使得嵌入式编程十分烦琐，因为本系统中所有数据都是整型的，因此在这方面也要作一定的改进。下面根据本系统中嵌入式硬件特点和数据结构得特点，对这个算法进行改进。

    2、改进的Bresenham画圆算法。先假设起始点为（R，0），令Pi=(xi，yi)为当前的一点，那么我们就需要在Ti=(xi，yi+1)和Si=(xi-1，yi+1)中选取一点，如图2所示。

    图2 嵌入式LCD画圆时点的选取

    设(xi-1/2+e，yi+1)为S和T之间圆上的点，e是S、T中点到圆上点的误差，带入圆的方程(1)得：

    f(xi-1/2+e，yi+1)=(xi-1/2+e)2+(yi+1)2-R2=f(xi-1/2，yi+1)+2(xi-1/2)e+e2=0   (3)

    在式(3)中，令

    di="f"(xi-1/2，yi+1)=-2(xi-1/2)e-e2                                    (4)

    如果e<0，那么di>0，因此选择S=(xi-1，yi+1)，根据(3)与(4)得：

    di+1=f(xi-1-1/2，yi+1+1)=di-2(xi-1)+2(yi+1)+1=di+2(yi+1-xi+1)+1         (5)

    如果e30，那么di￡0，因此选择T=(xi，yi+1)，根据(3)与(4)得：

    di+1=f(xi-1/2，yi+1+1)=di+2yi+1+1                                  (6)

    起始点是（R，0）的时候，根据(4)得di的初始值d0就是：

    d0=f(R-1/2，0+1)=(R-1/2)2+1-R2=5/4-R=1-R（由于编程中所用数据类型均为整型，故取1-R）。

    当选取S=(xi-1，yi+1)时，那么di+1＝di+2(yi+1-xi+1)+1；

    当选取T=(xi，yi+1)时，那么di+1=di+2yi+1+1；

    然后将选取的点坐标作为当前坐标，重复上述过程直至x=y，而不是xi=或者yi=，这样就可以不用作浮点数计算了。

    本项目中的LCD像素为640×480点阵，并且数据是八位的，当横坐标和纵坐标超过255时，那么数据就不能一次传送成功，因此需要通过字节操作来设定高字节，然后再传送低字节。因此，每次画圆上的点时要传送的参数至少是六个，圆心坐标是四个（因为要考虑圆心坐标可能大于255，因此要对其圆心坐标设置高、低字节），另外两个是圆上的点相对于圆心的坐标，但是最后要画一个点，需要四个参数，即改进的画圆算法为六个参数输入，四个参数输出。

#include <graphics.h>

#include <math.h>

void MidPointCircle(int r, int color);     /*中点bresenham算法*/

void CirclePoints(int x,int y,int color);

void BresenhamCircle(int xc,int yc,int r,int color);

void plot_cicle_point(int xc,int yc,int x,int y,int color);

main()

{

   int gdriver=DETECT,gmode;

   initgraph(&gdriver,&gmode," ");

   cleardevice();

   setbkcolor(2);

   MidPointCircle(100,4);

   getch();

   BresenhamCircle(100,100,50,5);

   closegraph();

}

void MidPointCircle(int r,int color)

  int x,y;

  float d;

  x=0;y=r;

  d=1.25-r;

  CirclePoints(x,y,color);

  while(x<=y)

  {

    if(d<0)

       d+=2*x+3;

    else

    {

       d+=2*(x-y)+5;

       y--;

    }

    x++;

    CirclePoints(x,y,color);

  }

void CirclePoints(int x,int y,int color)

   putpixel(x,y,color);

   putpixel(y,x,color);

   putpixel(-x,y,color);

   putpixel(y,-x,color);

   putpixel(x,-y,color);

   putpixel(-y,x,color);

   putpixel(-x,-y,color);

   putpixel(-y,-x,color);

void plot_circle_point(int xc,int yc,int x,int y,int color)

    putpixel(xc+x,yc+y,color);

    putpixel(xc-x,yc+y,color);

    putpixel(xc+x,yc-y,color);

    putpixel(xc-x,yc-y,color);

    putpixel(xc+y,yc+x,color);

    putpixel(xc-y,yc+x,color);

    putpixel(xc+y,yc-x,color);

    putpixel(xc-y,yc-x,color);

void BresenhamCircle(int xc,int yc,int r,int color)

  int x,y,d;

  d=3-2*r;

  while(x<y)

     plot_circle_point(xc,yc,x,y,color);

     if(d<0)

 d=d+4*x+6;

     else

     {

 d=d+4*(x-y)+10;

 y--;

     }

     x++;

  if(x==y)

    plot_circle_point(xc,yc,x,y,color);

PASCAL程序

program circlebre;

uses crt,graph;

var

  gd,gm:integer;

  xasp,yasp:word;

  ratio:real;

  procedure bresenham_circle(x0,y0,r:integer);

  var

    x,y,D:integer;

  begin

    x:=0;

    y:=r;

    d:=3-r-r;

    while x<=y do

    begin

      putpixel(x0+x,round((y0+y)*ratio),white);

      putpixel(x0-x,round((y0+y)*ratio),white);

      putpixel(x0+x,round((y0-y)*ratio),white);

      putpixel(x0-x,round((y0-y)*ratio),white);

      putpixel(x0+y,round((y0+x)*ratio),white);

      putpixel(x0-y,round((y0+x)*ratio),white);

      putpixel(x0+y,round((y0-x)*ratio),white);

      putpixel(x0-y,round((y0-x)*ratio),white);

      if d<0 then

        inc(d,4*x+6)

      else

      begin

        inc(d,4*(x-y)+10);

        dec(y);

      end;

      inc(x);

    end;

  end;

begin

  gd:=detect;

  initgraph(gd,gm,'D:\tp\bgi');

  getaspectratio(xasp,yasp);

  ratio :=xasp/yasp;

  bresenham_circle(300,100,50);

  Repeat until Keypressed;

  closegraph;

end.