动态规划求解所有字符的组合数

一，问题描述

给定若干个字符，求解 这些字符能够表示的最多组合个数。比如{'a','b','c'} 一共有七种组合。(每种组合没有重复的字符 且 组合的种数与顺序无关，如 ab 和 ba 是同一种组合)

a、b 、c 、ab 、ac 、bc 、abc

其实，求组合个数，可以用公式来求解:具给定 n种字符，一共有  c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n)种不同的组合。其中，c(n,i)表示：从n个字符中任选 i 个的组合数，数学表示为：C in。

二，DP算法思路

既然已经可以用上面的公式 c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n) 来计算不同的组合数了，那为什么还用DP？因为，上面的公式只能给定组合数，但是不能给出具体是哪些组合。

假设输入 m 个字符（互不相同），则这些字符只能构成长度为 1,2,....m 的组合，设某个组合的长度为 n。即： 1 =< n <= m

设 c[m][n] 表示 使用 m 种不同的字符，表示长度最多为 n 的组合个数 的最大值。

最大值 体现了最优子问题性质。最优子问题分析如下：把字符组合分成两部分，第一个字符 以及剩下的所有字符。

对于第 m 种字符而言，只有两种情况：①是字符组合的第一个字符，②不是在字符组合的第一个字符。因此，可以应用《组合数学》中的加法原理。（比如 'abc' 就是一个字符组合）

c[m][n]=c[m-1][n-1] + c[m-1][n]

c[m-1][n-1]，表示第 m 个字符是字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：用 1,2,...m-1个字符(共 m-1 种) 来 组合 长度为 n-1的 字符组合(‘字符串’)

c[m-1][n]，表示第 m 个字符不是 字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：在剩余的 m-1种字符里面选出 n 个字符来组合。？？？（有点不太对）

'm' ? ? .... ?             第一个字符是 'm'

'*'  ? ? .....?             第一个字符不是 'm'

注意，原问题表示的字符组合 长度是 n

三，代码实现

对于初始条件的确定，可以先画一个小的示例图来确定。比如：allCombination({'a','b','c'}, 3)......

在代码里面 记录下具体选了哪些字符，就可以打印输出具有的字符组合了。其实我也不会。

时间复杂度分析：从上面的递归方法来看：递归表达式为 T(m)=2T(m-1)，得出：T(m)=2^m ，指数级复杂度

而从上面的动态规划求解方法来看：时间复杂度为O(m^2)

（动态规划的两个基本特征：①最优子结构；②重叠子问题）

四，参考资料

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5579737.html

http://wuchong.me/blog/2014/07/28/permutation-and-combination-realize/

本文转自hapjin博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5583577.html，如需转载请自行联系原作者