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【小白话通信】连续分布的产生连续分布

连续分布主要有以下几种:均匀分布 伽马分布 正态分布 贝塔分布 柯西分布 对数正态分布 双指数分布。

产生各种连续分布的方法有很多,我把它分为两类:通用方法、特殊方法。特殊方法就是根据各个连续分布的特性而特有的方法。

通用方法指的是对于各种连续分布理论上都适用的方法。下面只讲解分布函数法、舍取法这两种通用的方法。

概率积分变换定理

设随机变量X有连续累计分布函数F(x),令U=F(X),则U服从(0,1)上的均匀分布。

由概率积分变换定理可知,如果知道一个连续分布函数的累计分布函数F(x),则可以求得随机变量:X=F−1(U),其中U服从0到1内的均匀分布。下面以指数分布来举例说明:

指数分布的累计分布函数F(x)可以表示为:

F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0

由于U=F(X)服从(0,1)上的均匀分布,则随机变量:X=F−1(U)=−Ln(1−U)λ。因此只需要产生服从(0,1)上的均匀分布的U,就可以计算得到服从指数分布的随机变量X。

指数分布 

结果显示如下:(指数参数λ=1的情况)

【小白话通信】连续分布的产生连续分布

分布函数法的局限性:由于该方法的关键就是求出分布函数的反函数,从而得到随机变量X关于均匀分布随机变量U的表达式。然而有些分布是不容易求得其反函数的,例如我们常见的正态分布,其分布函数需要用其概率密度函数表示如下:

F(x)=1σ2π−−√∫x−∞e−(t−u)22σ2dt

其中,u和σ分布为均值和标准差。显然,当得知F(x)的取值时,也很难求得此时的x的值。因此,当出现上述问题时,我们可以采用舍去法。

定理:设随机变量Y,V的概率密度函数分布为fY(y)、fV(v),其中,fY(y)、fV(v)有相同的支撑集且

M=max{fY(y)/fV(v)}<+∞

按下列步骤可以生成随机变量Y服从概率密度为fY(y)的分布:

1. 生成独立的随机变量U,V,其中,U服从0到1的均匀分布,V服从概率密度函数为fV(v)的分布

2. 如果U<1MfY(V)/fV(V),则令Y=V,否则返回到步骤1。

下面以用舍去法生成正态分布来具体说明:假设我们要用舍取法生成标准正态分布,标准正态分布的概率密度函数如下所示:

【小白话通信】连续分布的产生连续分布

确定V的分布

由舍取法的步骤2可知,生成的正态分布变量Y的取值包含于随机变量V的取值中。因此,我们需要根据正态分布随机变量的取值范围,来选择V应该服从的分布!我们一般取V服从均匀分布(当然也可以取其他的分布,注意需要满足取值范围)。

理论上,正态随机变量的取值在整个实数域中,因此V应该服从区间为实数域的均匀分布,显然这个均匀分布我们很难表示出来。但由上图可知,标准正态分布的取值基本在−5到5之间,因此我们只需要使得V服从区间在−5到5的均匀分布即可以很好的近似。

确定M的大小

在公式M=max{fY(y)/fV(v)}中,fV(v)=110,max{fY(y)}=fY(0)=12π√。因此M=102π√

在确定了V的分布以及M的大小之后,便可以根据定理中步骤2的判决方法来生成服从指定分布的随机变量Y。具体的程序实现如下:

结果显示如下:

【小白话通信】连续分布的产生连续分布

注意:使用这种方法的时候必须使V服从合适的分布来保证M<+∞,如若找不到这样的分布,则可以参考Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法。

上述的两种通用方法基本上可以用均匀分布产生大多数连续分布,不过由于每种分布有着各自的特性,因此也可以通过特殊的方法来生成。下面以生成标准正态分布(正态分布性质表明:任何正态分布都可以由标准正态分布转化得到)为例:

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明,大量相互独立的随机变量,其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础,指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。(摘自维基百科)

我们由中心极限定理可知,多个独立同分布的随机变量的和服从正态分布,而关于这个正态分布的均值和方差的确定,我们可以依据林德伯格-列维定理:

林德伯格-列维(Lindeberg-Levy)定理:

设随机变量X1,X2,⋯,Xn,且具有有限的数学期望E(Xi)=u,D(Xi)=σ2=0(i=1,2,⋯,n)。记X¯=1n∑i=1nXi,Y=X¯−uσ/n√,则limn→∞P(Y<z)=Φ(z),其中Φ(z)是标准正态分布的分布函数。

在程序实现中,我利用10个相互独立的服从区间−5到5的均匀分布来生成标准正态分布Y。而由公式可知,区间0到1的均匀分布的均值为u=−5+52=0,σ2=(5−(−5))2/12=100/12.因此我们需要生成的服从标准正态的随机变量的表达式为:Y=X¯−0.5100/12√/n√。具体程序实现如下:

显示结果如下:

【小白话通信】连续分布的产生连续分布

基本思想:假设U,V是两个相互独立的且服从区间在0到1的均匀分布,并且随机变量X,Y的表达式如下:

X=−2lnU−−−−−−√cos(2πV),Y=−2lnU−−−−−−√sin(2πV)

则X,Y是相互独立的,并且服从标准正态分布。

具体的程序实现如下:

【小白话通信】连续分布的产生连续分布

上面我们是以正态分布为例来讲述了特殊法的运用,主要是运用了正态分布与其他分布的关系:多个独立同分布的随机变量和服从正态分布;均匀分布与正态分布之间满足Box-Muller法中的关系。因此,当想要由一种分布生成另一种分布的时候,只需要知道它们之间的关系即可!

作者:nineheadedbird

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