本節書摘來自華章計算機《計算機系統：核心概念及軟硬體實作（原書第4版）》一書中的第3章，第3.2節,作者：[美] j. 斯坦利·沃法德（j. stanley warford）著， 更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視。
無符号二進制表示法僅适用于非負整數。如果計算機要處理負整數，那麼它必須要用一種不同的表示法。
假設有一個6位的單元要存儲-5（dec）。因為5（dec）是101（bin），是以你可能想到圖3-7所示的樣子。但這是不可能的，因為所有的位必須是0或1。謹記計算機是二進制的。上面這種存儲值要求每個方框可以存儲0或1或破折号，這樣的計算機必須是三進制而不是二進制。
解決這個問題的辦法是保留單元的第一個方框來表示符号。這樣，6位單元将分為兩個部分—1位符号位和5位數值位，如圖3-8所示。因為符号位必須是0或1，是以一種可能是讓符号位0表示正數，符号位1表示負數。那麼+5可以表示為：
00 0101
-5可以用表示為：
10 0101
在這種表示法中，+5和-5的數值位是相同的，僅僅是符号位不同。
然而，很少有計算機用前面這種代碼，因為如果進行十進制的+5加-5，得到0，但如果進行二進制的00 0101加10 0101（符号位和所有），得到
這顯然不等于0。如果cpu硬體可以用無符号二進制加法的普通算法對包含符号位的完整數字+5和-5進行相加并得到0，這會更加友善。
補碼（two抯 complement）二進制表示有這個特性，正數由符号位0和與無符号二進制表示一樣的數值位組成。例如，十進制+5（dec）仍然表示為00 0101。
但是-5（dec）的表示不是10 0101，而是11 1011，因為+5加-5是
注意6位的和都是0，和我們期望的一樣。
按照6位單元的二進制加法法則，11 1011稱為00 0101的加法逆元（additive reverse）。求加法逆元的運算稱為求補（negation），縮寫為neg。對一個數求補也稱為取它的補碼。
現在我們所需的是求一個數補碼的法則。有個簡單的法則是基于反碼（ones抍omplement），反碼是把所有的1變為0，0變為1的二進制序列。反碼也稱為not運算。
例3.8 假設一個6位單元，00 0101的反碼是
not 00 0101＝11 1010 □
找出補碼規則的線索是把一個數和它的二進制反碼相加的結果。因為1加0等于1，0加1等于1，是以任意數和它的反碼相加将生成一個全1的序列，然而把一個單獨的1和全1的數相加就會得到一個全0的數。
例3.900 0101加上它的反碼
這個數是全0的。 □
換句話說，把一個數加上它的反碼，再加1就得到全0的數，是以一個數的反碼加1一定是它的補碼。
例3.10将00 0101的反碼加1得到它的補碼。
00 0101的補碼是11 1011，即，
neg 00 0101 = 11 1011
11 1011的确是00 0101的負數，因為如前所示兩者相加為0。 □
不管一個數有多少位，對一個數求補的一般法則是：
一個數的補碼等于它的反碼加1。
或者用neg和not運算表示為
neg x＝1 + not x
在我們熟悉的十進制中，如果對一個負數值取負，那麼将得到一個正值，代數表達式為
-(-x)＝x
這裡x為正值。如果求補碼的法則是有效的，那麼一個負數值的補碼應該是相應的正值。
例3.11如果對-5（dec）取補碼會怎樣？
瞧！如你所期望的，又得到了+5（dec）。 □
3.2.1補碼的表數範圍
假定有一個4位單元以補碼形式存儲整數，那麼這個單元能表示的整數範圍是多少？
數值最大的正整數是0111（bin），即+7（dec）。這和在無符号二進制數中最大值為1111不同，因為第一位被保留作為符号位且一定是0。在無符号二進制中，用4位單元可以存儲的最大數是+15（dec），所有4位都用于存儲數值。在補碼表示中，能存儲的最大數隻是+7（dec），因為僅有3位用于數值。
數值最大的負整數是什麼呢？這個問題的答案可能不太顯而易見。圖3-9展示了最大到7的每個正整數的補碼，在圖中看到了什麼規律沒有？
我們注意到補碼運算自動在負整數的符号位生成了一個1，它本來就應該這樣。偶數仍然以0結尾，奇數仍然以1結尾。
而且，如你所期望的，二進制-6加1得到-5，類似地，二進制-7加1得到-6。我們可以從4位擠出一個更大的負整數-8。二進制-8加1得到-7，是以-8應該用1000表示。圖3-10是一個4位存儲單元的完整有符号整數表。
-8（dec）有一個其他負整數沒有的屬性，如果取-7的補碼會得到+7，如下所示：
但如果取-8的補碼，得到的還是-8：
因為4位無法表示+8。
我們已經确定了4位單元的補碼二進制表數範圍以二進制表達是1000到0111，或者以十進制表達是-8到+7。
不管單元包含多少位，模式都是一樣的。最大的正整數是一個0後面全是1，而數值最大的負整數是一個1後面全是0，它的數值比最大正整數大1。-1（dec）用全1表示。
例3.126位補碼表示的表數範圍，用二進制表示是
10 0000到01 1111
或者十進制表示是
-32到31
和其他的負整數不同，10 0000的補碼就是它自己10 0000。還可以看到-1（dec）= 11 1111（bin）。 □
3.2.2基數轉換
把一個負數從十進制轉換為二進制分為兩步。首先，把它的數值部分當作無符号表示轉換為二進制；其次，按照補碼的方式對它取反。
例3.13對于10位單元的-7（dec）
是以-7（dec）的補碼是11 1111 1001（bin）。 □
在采用補碼表示的計算機中，把一個數從二進制轉換成十進制，總是首先檢測符号位。如果是0，這個數是正數，可以按照無符号數表示進行轉換；如果是1，這個數是負數，可選的方法有兩種。一種是通過取反得到正數，然後再按照無符号數的法則，把它轉換成十進制。
例3.14一個10位單元的内容為11 1101 1010，它代表的十進制數是什麼？符号位是1，是以這個數是負數，首先對這個數取反：
是以原始的二進制數一定是38的負值，即
11 1101 1010（bin）＝-38（dec） □
另一種方法是不用取補碼，直接轉換，即隻用在原始二進制數中為0的那些位的位置值相加，再加1。這個方法是正确的，因為取正整數補碼的第一步就是按位取反。那些本來對正整數數值有貢獻的1變為了0，是以是0而不是1對負整數的數值有貢獻。
例3.15圖3-11顯示的是11 1101 1010（bin）的為0的位置 ，把這些位的位置值之和加1得到
1101 1010（bin）＝-（1 + 32 + 4 + 1）＝-38（dec）
這和前面方法得到的結果是一樣的。 □
3.2.3 數軸
看待二進制表示的另一種方法是使用數軸。圖3-12展示了3位單元的無符号二進制表示的數軸，能夠表示8個數字。
可以通過在數軸上往右移動進行加法運算。例如，4加3，從4開始往右移動3個位置得到7。如果嘗試在數軸上6加3，将超出最右端。如果用二進制進行這個加法，将得到不正确的結果，因為結果超出了範圍：
把無符号數軸在3和4之間斷開，把右半部分移到左邊，這樣可以得到補碼的數軸。圖3-13顯示了二進制數111現在和000相鄰，之前是+7（dec），現在是-1（dec）。
即使有經過0，加法仍然是通過在數軸上向右移動來進行的。-2加3，從-2開始向右移動3個位置得到1。如果用二進制計算，答案在範圍内，是以是正确的：
這些位和無符号二進制6加3是一樣的。我們注意到結果雖然在表數範圍内，但是進位位是1。在補碼表示中，進位位不再表示加法的結果是否是在範圍内。
有時候，隻考慮移動後的十進制數軸，可以完全避免二進制表示。圖3-14展示了補碼數軸，用等值的無符号十進制數代替二進制數。這個例子中，每個存儲位置有3位，是以最多有23或8個數。
現在，從0到3的無符号數與有符号數是一樣的。此外，通過減8可以從無符号數得到有符号負數：
7-8＝-1
6-8＝-2
5-8＝-3
4-8＝-4
例3.16假定有一個8位單元，有28或256個可能的整數值，非負數從0到127。假設采用補碼表示，97加45等于多少？以無符号二進制數計算，和等于
97 + 45＝142（dec，unsigned）
但用在補碼表示中，這個和為
142 - 256＝-114（dec，signed）
注意，這樣的結果完全避免了二進制表示。為了驗證結果，首先把97和45轉換為二進制并相加：
符号位是1，是以這是一個負數。現在，确定它的數值大小
neg 1000 1110＝0111 0010 （bin）
得出預期的結果。
3.2.4溢出位
在isa3層上二進制存儲的一個重要特性就是每個值都沒有與之相關的類型。在前面的例子中，和1000 1110，作為無符号數解釋時，它是142（dec），但作為補碼表示解釋時，它就是-114（dec）。盡管位模式的值取決于它的類型，是無符号還是補碼，但是硬體對兩種類型不加以區分，隻存儲位模式。
當cpu對兩個存儲單元的内容相加時，它不管它們的類型，隻采用位序列上的二進制加法法則。對于無符号二進制，如果和超出表數範圍，硬體隻是簡單存儲（不正确的）結果，相應地設定c位并繼續往下走。由軟體來檢測相加後的c位，看是否在最高位的那一列有進位發生，并按需采取适當的動作。
我們前面說過，在補碼二進制表示中，進位位不再表示一個和是否在表數範圍内。當運算結果超出表數範圍時，我們稱為出現了溢出情況（overflow condition）。為了為有符号數标示這種情況，cpu中有另一個用v表示的特殊位，叫作溢出位（overflow bit）。當cpu對兩個二進制整數相加時，如果和超出補碼表示的範圍，那麼v設定為1，否則v設定為0。
不論以何種方式解讀位模式，cpu總是執行同樣的加法運算。與c位一樣，如果發生了補碼溢出，cpu不會停下來，它将v位設定為1，并繼續它的下一步工作。由軟體來檢測加法後的v位。
例3.17這裡有幾個6位單元的例子，展示了進位位和v位的情況：
注意v和c的值有可能是所有的組合。 □
怎樣才能知道發生了溢出情況呢？一種方法是把兩個數轉換到十進制，兩者相加看它們的和是否超出了以十進制表示的範圍。如果是，那就是發生了溢出。
硬體通過将符号位的進位與c位比較來檢測是否溢出發生：如果兩者不同，溢出發生，v為1；如果兩者相同，v為0。
不将符号位的進位與c位比較，也可以通過檢視加數與和的符号，直接确定是否發生了溢出。如果兩個正數相加得到負數或者兩個負數相加得到正數，那麼就發生了溢出；一個正數和一個負數相加是不可能發生溢出的。
3.2.5負數和零位
除了檢測無符号整數溢出情況的c位和檢測有符号整數溢出情況的v位外，cpu還維護了另外兩位，供軟體在運算後進行檢測。它們是n位和z位：n位用于檢測負數結果，z位用于檢測零結果。總的來說，這4個狀态位的函數是
n＝1，如果結果是負數。
n＝0，其他情況。
z＝1，如果結果全是零。
z＝0，其他情況。
v＝1，如果有符号整數溢出發生。
v＝0，其他情況。
c＝1，如果無符号整數溢出發生。
c＝0，其他情況。
由于n位是符号位的一個副本，是以硬體很容易确定它。而要确定z位，硬體則要費點兒工夫，因為它必須确定結果的每個位是否都為0。第10章展示了硬體怎樣根據結果計算狀态位。
例3.18這裡有三個加法例子，展示了結果的4個狀态位情況。
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