《電子元器件的可靠性》——3.5節指數分布情況的壽命

本節書摘來自華章社群《電子元器件的可靠性》一書中的第3章，第3.5節指數分布情況的壽命，作者王守國，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章社群”公衆号檢視

3.5　指數分布情況的壽命

試驗壽命試驗是指評價分析産品壽命特征量的試驗，它是在實驗室裡，模拟實際工作狀态或儲存狀态，投入一定數量的樣品進行試驗，記錄樣品數量、試驗條件、失效個數、失效時間等，進行統計分析，進而評估産品的失效分布和各項可靠性名額。對于電子元器件的壽命試驗，現在采用較多的還是屬于破壞性的壽命試驗。

在确定和了解電子元器件及材料可靠性名額的試驗中，一般都在可靠性篩選和例行試驗合格的産品中抽樣進行。對于許多産品，可以認為早期失效産品已經剔除，其壽命分布已進入偶然失效期，并且基本上屬于指數分布。即使有些産品不服從指數分布，例如，服從威布爾分布，但其形狀參數m接近于1，可以用指數分布來近似。是以，研究符合指數分布情況的壽命試驗具有普遍意義。

由于一般電子元器件及材料的可靠性都很高，要使産品全部失效所需時間很長。另外，可靠性是統計概念，隻要有一定的失效資料就可以用統計方法确定出可靠性名額。也就是說，不必知道全部産品的失效資料。是以，在可靠性壽命試驗中都采用截尾試驗，按結束試驗方式可分為定數截尾試驗和定時截尾試驗兩種。

所謂定數截尾試驗，就是指試驗進行到規定的失效數（或失效次數）後，停止其試驗。

所謂定時截尾試驗，就是指試驗進行到規定的試驗時間停止試驗。

在定數截尾和定時截尾試驗中，又可以采用有替換和無替換兩種方式，即在試驗中每出現一個産品失效後，用同樣的好産品替換或不替換兩種方式。對于電子元器件常采用無替換方式，而電子裝置或系統則采用有替換方式。

3.5.1　試驗方案的确定

在壽命試驗方案設計中，需要考慮和确定下面幾個問題。

1.試驗樣品的抽取方法和數量的确定

因為壽命試驗是為了了解産品的可靠性名額，是以試驗樣品必須選擇本産品型号中具有代表性的規格。同時，投試樣品在本質上應是同一設計，并建立了可靠性品質管理，在連續生産的産品中進行一次随機抽取，使所抽取樣品具有代表性。而且試驗樣品必須經過可靠性篩選并從例行試驗合格的産品批中随機抽取。

受試樣品的多少，将影響可靠性特征量估計的精确度，其一般原則是：樣品數量大，則試驗時間短，試驗結果較精确，但測試工作量大，試驗成本高。是以，抽取樣品數量的大小既要保證統計分析的正确性，又要考慮試驗費用不用太高，為試驗裝置所允許，不能片面地追求某一方面的要求。對于高可靠、長壽命的産品，當成本及試驗費用又較低時，樣品數可多一些，一般不低于30個。對于普通電子元器件樣品數量不少于10個，特殊産品不得少于5個。

2.試驗應力類型的選擇和應力水準的确定

試驗應力類型的選擇視試驗目的而定。若要了解産品的儲存壽命或工作壽命就必須施加一定的環境應力或電應力。這是因為産品的失效是由失效機理決定的，同一件産品往往同時存在着不同的失效機理，而失效機理是否發展和發展速度快慢，與外加應力有密切關系。對于壽命試驗來說，受試産品的失效機理一定要與實際使用狀态的失效機理相一緻；否則，壽命試驗所得資料沒有實用價值。是以，要分析和研究在壽命試驗中對失效機理的發展有促進作用的應力類型，也就是要選擇對産品失效影響最顯著或者最敏感的那些應力，而且這些應力所激發的失效機理應與實際使用狀态的失效機理相同。因為這些應力比較充分地反映或者比較明顯地影響産品的可靠性和壽命。此外，這些應力是容易控制和測量的，否則，壽命試驗難于按設計方案進行。對于電子元器件與材料使用狀态所承受的和導緻失效最主要的應力是溫度應力和電應力，是以常選用這些應力進行壽命試驗。它們可以是單一的應力，也可以是同時作用的兩個或兩個以上應力。

在試驗過程中，要嚴格控制試驗條件，保持試驗條件的一緻性，這是保證試驗結果的正确性所必需的。

試驗應力的水準也應視試驗目的而定。一般來說，試驗應力高，産品失效快，試驗時間短，但最高應力受限于産品本身的使用極限，通常應以不改變元器件在正常使用條件下的失效機理為原則。如無特殊規定，試驗應力水準應選擇産品技術标準規定的額定值。

3.測試周期的确定

為了能使最後的分析結果盡量精确，最好在整個壽命試驗中，采用自動監測、連續測試的方法，以得到确切的失效時間。在沒有自動記錄失效裝置的場合下，隻能采用間歇測試的辦法，即相隔一定的時間進行一次測試。其測試周期的選擇将直接影響到産品可靠性名額的估計精度。測試周期的長短與産品的壽命分布、施加應力的大小有關。測試周期太短，會增加測試工作量；測試周期太長又會失掉一些有用的資訊量。确定測試周期的原則是：在不過多地增加檢查和測試工作量的情況下，應盡可能比較清楚地了解産品的失效分布情況，不要使産品失效過于集中在一兩個測試周期内，一般要求有五個以上的測試點（指能測到失效産品的測試點），每個測試點上測到的失效數應大緻相同。在确定具體産品的測試周期時，要對産品的失效情況或失效分布有所了解。這種了解可以通過以往試驗所積累的資料和資料來确定，也可以選取少量樣品做快速壽命試驗來獲得。對于試驗應力大，失效程序快的産品，測試周期選短一些；對于試驗應力小，失效程序慢的産品，測試周期選長一些，可以在試驗過程中逐漸調整，如果希望在可靠性壽命分布圖

3.13　指數分布

試驗時間的坐标軸上大緻等距地選擇測試周期，這可以借助坐标紙或機率紙來加以确定。例如，當産品的壽命分布屬于m>1的威布爾分布時，則壽命試驗周期開始可稍長些，然後逐漸縮短，最後再逐漸加長；如果産品的壽命分布指數分布類型的，如圖3.13所示，則壽命試驗開始後的測試周期要短些，然後可适當地加長。這可借助于普遍坐标紙來确定，因為累積失效機率的分布函數f(t)為f(t)=1－e－tμ0式中，μ0為該試驗條件下産品的平均壽命，可以根據以往經驗粗略地加以估計。若希望累積失效機率達到f(ti)，則測試時間ti可按下式初步估計ti=μ0ln11－f(t)　i=1,2,3，…為使每個周期内測試到的失效數比較一緻，可按f(ti)等間隔取值。例如，總數為50個樣品的試驗中，希望每次都觀測到5個産品失效，即在第一次測試時有5個産品失效，即f(t1)=0.1，第二次測試時累計有10個産品失效，即f(t2)=0.2，第三次測試時累計有15個産品失效，即f(t3)=0.3，……也可以按f(ti)為5%、15%選擇短一些或長一些的測試點。

實際安排測試時間時，由于對μ0和分布函數并不确知，這時可将μ0估計得略小一些，這樣可将測試點向前移動，然後根據實際試驗情況再做适當調整。這樣考慮是允許的，因為對于壽命符合指數分布的産品，每次試驗統計出的分布與理論上的分布總會有些差異，測試時間稍有不同也是可以的，但總的測試時間的選擇原則如前所述，希望在各測試周期内能比較均衡地測到失效産品數，防止某個測試周期内失效過于集中或不必要地增加測試次數。

4.試驗截止時間的确定

試驗截止時間是壽命試驗中的主要難點，它與樣品數量及所達到的失效數有關。由于一般電子元器件壽命都非常長，加之試驗資料采用統計分析方法，故采用截尾試驗。對于低應力下的壽命試驗，常采用定時截尾試驗，即試驗達到規定時間停止試驗，一般要求截止時間t為平均壽命的1.6倍以上，如采用1000小時、5000小時或10000小時等；對于高應力下的壽命試驗，常采用定數截尾試驗，即當累計失效數或累積失效機率達到規定值，一般應在30%、40%或50%以上時停止試驗。試驗停止時間一經确定，在試驗過程中不得變動，以保證統計處理的正确性。

對于指數分布，當采用定數截尾試驗時，試驗時間t與試驗樣品數n和所要求達到的失效機率f(t)=rn，可由下式确定t=μ0lnnn－r隻要估計出産品在該試驗條件下的平均壽命μ0，即可估計出試驗所需時間。

5.制定失效标準和失效判據

如前所述，失效标準的制定就是明确判斷産品失效的技術名額，其可以是産品完全失效，如擊穿、開路、短路、燒毀等，也可以是部分失效，即産品的性能超過某種确定的界限，但沒有完全喪失規定功能的失效。一個産品往往有好幾項技術名額或性能參數，在壽命試驗中規定：隻要産品有一項名額或參數超出了标準就判為失效。例如，陶瓷電容器的主要技術名額有電容量的相對變化率Δcc、絕緣電阻r、損耗角正切tanδ、耐壓等，隻要這些名額中有一項超出了規定，就應判為失效。如沒有特殊規定，通常都是以産品技術規範中所規定的技術标準作為失效标準的判據。

6.确定應測量的參數和測試方法

所選擇的測量參數要能夠顯示失效機理的發展程序，也就是說，選擇那些對失效機理的發展能起到訓示作用的靈敏參數。測量的參數可能不止一個，而是多個，是以在測量時必須避免各參數的測量方法互相影響，認真确定其先後順序。選擇參數的測量方法時，還必須盡量避免在測量中出現對其樣品失效機理的發展起促進、減緩或破壞作用，更不能引入新的失效機理。

在被測樣品去除應力後，其參數值随時間會逐漸變化而趨近于某一恒定值。為了獲得穩定而準确的參數值，又不過圖3.14　參數恢複後的試驗時間确定多地耗費時間，可以選擇一組樣品，經過一定時間試驗後，進行恢複時間與性能參數變化關系的研究，曲線參數趨于基本恒定的時間，即為最佳的測量恢複時間，如圖3.14所示。一般規定，在正常大氣條件下恢複2～4小時，或按有關産品技術标準的規定進行。

試驗過程中各次測試應在同一台儀器上進行，以保證測試資料的可信度。

7.失效時間的确定

在沒有失效自動記錄裝置的情況下，可根據測試間隔中測得的失效數，按等間隔配置設定公式，确定失效時間。如在時間段ti-1～ti，失效數是ki，失效時間是tj=ti－1+ti－ti－1ki+1j　j=1,2,3，…，ki3.5.2　壽命試驗資料的統計分析——點估計和區間估計

關于指數分布截尾壽命試驗資料的統計分析可以采用圖估法和數值解析統計方法。圖估法在前面的威爾布機率紙的用法中已做介紹，數值解析法目前最常采用的是點估計法和區間估計法。

1.點估計法

就是利用資料的統計分析，從子樣的觀測值對母體分布的未知參數真實值給出一個估計數值的方法，得到的是一種近似的估計值，其估計近似程度與子樣的大小和所采用的計算方法有關。

因為母體壽命分布是指數分布，未知參數隻有一個，即μ0或λ0，兩者互為倒數。同時由于試驗所得到的資料可以是樣品的失效時間，也可以是樣品的失效總數，是以，統計分析處理可以按下面兩類方法進行。

（1） 按失效時間的統計分析處理

若受試樣品的個數為n，試驗結束前共觀測到r個樣品失效，失效時間分别為ti，其中i=1,2,3，…，r。

如果采用無替換截尾試驗，那麼到試驗停止時還有n－r個樣品未失效。這n－r個樣品在試驗停止後還能繼續工作的時間分别為t′r+1，t′r+2，t′r+3，…,t′n，把它們稱為剩餘壽命。未失效的n－r個樣品剩餘壽命的平均值t′為t′=1n－r∑nj=r+1t′j　　在定數截尾試驗中，當試驗到第r個樣品時就停止，即試驗到時間tr時停止試驗，是以總的平均壽命μ0的估計值為μ0=1n∑ni=1ti=1n∑ri=1ti+∑nj=r+1(tr+t′j)=1n∑ri=1ti+(n－r)(tr+t′)　　因為壽命分布屬于指數分布，其失效率λ(t)為常數，是以在tr時間後若繼續進行試驗，則此時統計出的失效率還是那個常數λ0。既然符合指數分布的平均壽命是失效率的倒數，是以同一産品剩餘壽命的平均值t′也是平均壽命μ0的估計量μ0。是以，無替換定數截尾試驗的平均壽命μ0的估計量μ0為μ0=1n∑ri=1ti+(n－r)(tr+μ0)是以μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)tr　　對于無替換定時截尾試驗，若試驗進行到時刻t結束，其累計失效數為r，則平均壽命μ0的估計量可以按照上面同樣的分析方法得到，即μ0=1n∑ri=1ti+∑nj=r+1(t+t′j)=1n∑ri=1ti+(n－r)(t+t′)是以μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)t　　從無替換定數和定時兩種截尾試驗的平均壽命μ0的估計公式中可以看出：它們都恰好等于參加試驗的所有樣品實際試驗時間的總和除以失效樣品總數。通常将樣品實際試驗時間的總和稱為總試驗時間，機關為［元件·小時］，以tn表示。顯然，對于無替換定數和定時截尾試驗，可以用同一公式來估算未知參數μ0，即μ0=tnr它們之間的不同之處，僅僅是tn的具體計算公式不同而已。

同樣可以推出，對于有替換定數截尾試驗：tn=ntr對于有替換定時截尾試驗：tn=nt是以，上面四種情況均可以用統一的公式表示，進而可以得出結論：對于指數分布截尾壽命試驗的平均壽命的估計值μ0，可以用總試驗時間與失效數的比值來确定。這種求出一個數值的估計方法，在數理統計中稱為點估計法。

（2） 按失效數的統計分析

在可靠性試驗中，有一些産品或有一些試驗無法在試驗過程中确定受試樣品是否失效。隻有在試驗結束後才能确定，或者使用者僅提供使用中出現的失效次數，而沒有提供失效的時間，這時産品的平均壽命應如何估計呢？

當試驗樣品數n較大（一般n≥50）時，若試驗時間t結束時有r個産品失效。假設産品失效機率仍服從指數分布，則可靠度可近似表示為r(t)=e－tμ0≈n－rn等式兩邊取對數－tμ0=ln(n－r)－lnn即μ0=tlnn－ln(n－r)是以，對于n較大的無替換截尾試驗，其平均壽命估計值的近似計算公式為μ0=tlnn－ln(n－r)2.區間估計法

就是利用統計分析對分布的未知參數給出一個估計範圍的方法，點估計法估計的平均壽命不能給出估計的平均壽命與産品真正的平均壽命之間的誤差。因為點估計所得資料是根據從該批産品中抽樣n個樣品進行試驗的結果計算出來的。如果從該批樣品中另外抽取n個樣品做試驗，按新的試驗結果計算得到的值就不一定和上次統計出的值相等。一般來說，當試驗樣品數n增加時，計算出的結果就更接近于産品真正的平均壽命。是以，究竟估計出的平均壽命與真實的平均壽命相差多少呢？如何求出滿足給定精度要求的平均壽命的估計值呢？這必須采用置信區間的估計方法（通常簡稱為區間估計方法）才能解決。

估計的精度和樣品數量n有關，n越大，估計出的μ0就越能代表産品的平均壽命，其精度也就越高。但是，如果對産品的真實平均壽命做這樣一個估計：“μ0在（0，∞）之間”，這個估計當然100%可信，卻沒有實際意義。假設一個産品真正的平均壽命為10000小時，若估計μ0在（9000，11000）小時之間是可信的，那麼估計μ0在（5000，15000）小時之間就更可信，而估計μ0在（0，∞）之間則100%可信。因為從抽樣試驗結果來估計μ0，不可能在這個區間之外。而μ0的估計值落在（5000，15000）小時區間之外則是有可能的，落在（9000，11000）小時區間之外的機率就更大些。是以，若要對平均壽命設定一個估計區間（μ下，μ上），一方面希望精度盡可能高一些，也就是，這個估計區間窄一些；另一方面又希望這種估計的正确程度要高一些，也就是，區間（μ下，μ上）包含真實值μ0的機率要盡可能大。這兩個要求是沖突的。因為區間窄，真實值μ0落在區間外的可能性增大，通常把區間（μ下，μ上）稱為μ0的置信區間，這種估計方法稱為區間估計。把置信區間（μ下，μ上）不包含真實值μ0的機率記作α，稱為顯著性水準。是以，區間（μ下，μ上）包含μ0的機率為1－α，把1－α稱為置信度，μ下稱為置信下限，μ上稱為置信上限。很顯然，置信度就是區間估計正确的機率，也就是平均壽命真實值落入區間内的機率，用公式表示即為p(μ下≤μ0≤μ上)=1-α置信限μ下和μ上與樣品數n的大小、置信度1－α等均有關。通常在計算方法和置信度保持不變的條件下，當n選取大時，置信區間就變窄，也就是估計精度高。如果在計算方法和樣品數n保持不變的條件下，置信度越大，置信區間就變寬，對參數μ0的估計精度就降低；如果置信區間變窄，置信度就降低，區間内包含參數μ0的機率減小，也就是，錯誤地估計參數μ0的可能性增大。是以，在預先設定置信度1－α時，要根據具體情況加以權衡确定。

置信區間如何确定呢？

（1） 按失效時間的區間估計

如果對同類産品進行多次壽命試驗，所得出的平均壽命估計值總是不同的，因而該産品的失效時間可視為随機變量，對于無替換定數截尾試驗，可知μ0=1r∑ri=1ti+(n－r)tr　　因為試驗中所得到的失效樣品r的失效時間是一組随機變量，它和母體服從同一參數μ0的指數分布，是以其分布密度函數為f(t)=1μ0e－tμ0　　是以，μ0就是r個相同參數的指數分布的組合，顯然μ0在（a，b）範圍内取值的機率為p(a≤μ0≤b)=∫baf(t)dt=1-α如圖3.15所示，a、b分位點的選擇應滿足（0，a）之間曲線與橫軸所包括面積為α/2，（0，b）之間的面積為1－α/2。實際上，不是直接計算μ0的分布函數，而是計算2rμ0μ0=2tnμ0的分布函數，　圖3.15　置信度的确定從機率論與數理統計理論可以推證，2tnμ0的分布函數的分位點符合自由度為f=2r的χ2分布。是以，給定置信度為1－α的2tnμ0的區間估計機率應為p(χ22r,α2≤2tnμ0≤χ22r,1－α2)=1-α式中，χ22r,α2表示自由度為2r，在α/2分位點的χ2分布值；χ22r,1－α2表示自由度為2r，在1－α/2分位點的χ2分布值，χ2分布值可由前節所述方法得到。

實際需要知道的是平均壽命的置信上下限，是以，将上面的區間估計機率進行變換，即pχ22r,α2≤2tnμ0≤χ22r,1－α2

=p1χ22r,1－α2≤μ02tn≤1χ22r,α2

=p2tnχ22r,1－α2≤μ0≤2tnχ22r,α2

=1-α是以，無替換定數截尾試驗的平均壽命的置信上下限為μ下=2tnχ22r,1－α2

μ上=2tnχ22r,α2同樣可得無替換定時截尾試驗，置信上下限為（注意不同處）μ下=2tnχ22r+2,1－α2

μ上=2tnχ22r,α2　　對于有替換定數和定時截尾試驗，區間估計公式與上式一樣，不同的隻是tn按有替換的總試驗時間計算而已。

在研究産品的可靠性名額時，有時關心的隻是在置信度1－α下保證真實的平均壽命大于置信下限（即大于某一規定值），即要求p(μ0≥μ下)=1-α對于定數截尾試驗，可以推得μ下=2tnχ22r,1－α對于定時截尾試驗，可以推得μ下=2tnχ22r+2,1－α　　（2） 按失效數的區間估計

因為從試驗結果隻知道失效數，而不知道失效時間，是以，要知道平均壽命的區間估計，可先求出失效數的置信區間。若n個樣品投入試驗，出現r個失效的機率可用機率論中的二項分布來求得，即(nr)pr(1－p)n－r式中，p是失效的機率。當n較大時，二項分布可用均值為np，标準偏差為np(1－p)的正态分布來近似。是以，失效數r可用均值為np，标準偏差為np(1－p)的正态分布來計算。當設定置信度為1－α時，其分位點服從标準正态分布的α分位點，即kα，很顯然pk1α≤r－npnp(1－p)≤k1－1α

=pnp+k1αnp(1－p)≤r≤np+k1－1αnp(1－p)=1-α式中，p可用失效的頻率r/n來近似，因而上式變為pr+k1αr(n－r)n≤r≤r+k1－1αr(n－r)n=1-α進而可得上式r的置信上、下限分别為r上=r+k1－1αr(n－r)n

r下=r+k1αr(n－r)n代入失效率的點估計值μ0=tlnn－ln(n－r)可得平均壽命的置信區間上、下限分别為μ下=tlnn－lnn－r－k1αr(n－r)n

μ上=tlnn－lnn－r－k1－1αr(n－r)n式中，kα可由正态分布表的α分位點确定或者計算得到（同第2章所述）。