本節書摘來自華章計算機《資料科學r語言實踐：面向計算推理與問題求解的案例研究法》一書中的第2章，第2.6節,作者：[美] 德博拉·諾蘭（deborah nolan） 鄧肯·坦普·朗（duncan temple lang） 更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視。
櫻花公路賽的結果包含20～80歲的運動員的比賽記錄。然而，不會有任何一個運動員的記錄滿足60年的跨度。由于我們隻有14年的比賽記錄，是以最多隻能觀察到一個運動員20～33歲的記錄，或者一個80歲的運動員從他67歲之後的記錄。是以，滿足60年的跨度是不可能的。這意味着，當研究随時間推移的個人成績時，我們看到的是長度最多有14年的短時間序列。研究20～80歲的成績意味着我們必須依賴資料的橫截面資訊，而這樣的資訊需要在這些短的時間序列裡獲得。
可以合理地猜測在一個短的時期内，比如8～10年，一名選手的成績大緻與年齡成線性關系（我們已經從橫截面資料的分段線性模型中得到了這樣的結論）。我們可以繪制圖形以确定是否屬于這種情況。現在有300多名參賽選手的資料可以用來繪圖，為了限制過度繪制的影響，我們針對不同資料子集繪制多張圖形。首先我們将參賽選手分成9組，在3×3的網格上繪制9張圖，配置設定給每組大緻相同數量的選手：
為每一幅圖建立一個空白畫布。例如，
然後我們在組内為每個選手添加線段，使用不同顔色和類型的線段以區分不同的參賽選手。下面的addrunners()函數為每個選手添加一條線段：
我們可以建立9塊空白的畫布，并用以下代碼為參賽選手添加線段：
invisible()函數隐藏了sapply()函數的傳回值。由于該函數的功能是将線段添加到畫布上，是以對于每次疊代它都傳回null，可以安全地忽略該傳回值。
在圖2-17中，可以看到9幅曲線圖，每幅圖大約包含30名運動員。有些運動員的成績波動有點大，我們可能需要重新回顧一下舍棄參賽選手的概念，即由于選手的成績波動超出了預期，是以有可能是兩個不同運動員記錄的合并，需要将他們舍棄掉。這裡我們将以上處理留作練習。另外，為每位選手的成績拟合一條直線似乎更合理。
圖2-17 多場賽事的比賽用時。這些曲線圖表示至少完成8次櫻花賽的男選手的跑步時間。每個連接配接的片段集合對應一位運動員的跑步時間。觀察所有的曲線圖可以看出，該圖和圖2-7中的散點圖呈現相似的形狀，例如，圖形随着年齡向上彎曲。然而，我們也可以看到單個選手成績的變化情況。例如，許多中年選手的跑步時間随着年齡的增長而迅速增加，但并不是所有人都這樣。他們中的一些人的成績在進步，而另一些人的成績變化較慢
針對個體選手的縱向分析隐式地抑制了那些可能影響成績的協變量，比如性别。其中一個例外就是任意給定年份的比賽條件—由于路線或天氣的變化，一些年份的速度可能慢些，一些年份速度可能快些。然而，看似合理的是這樣的影響跟年齡無關，是以它相當于測量噪聲。
現在有了參賽選手的名單，我們希望将每位選手的成績拟合成一條線。如果針對一位選手編寫函數執行該處理，那麼就可以把該函數應用到名單上所有的選手。這個函數需要怎麼做呢？可以讓它通過lm()函數拟合一條線。函數需要傳回什麼值呢？我們對傳回年齡的系數感興趣，但是需要能夠在年齡的上下文中對它進行解釋。由于有每位選手的多個年齡，那麼就讓我們傳回一個年齡的中間值。并且在得到該值後，傳回一個該年齡上選手成績的預測值。需要為函數輸入什麼呢？實際上僅僅是參賽選手的比賽用時和年齡。我們可以将它們作為獨立的參數傳入函數或者傳入我們的資料框中。如果是後者，我們需要知道要拟合的變量名。下面完成這項工作。我們還讓函數将被拟合的線段添加到繪圖中。也可以通過增加參數使其變為可選操作，該參數的預設值為false，僅當指定參數為true時函數才添加線段。該函數如下：
這裡我們留一道練習題，增強以上函數的功能，使它也可以傳回年齡誤差的sd（标準差）以及年齡系數的se（标準誤差）。另外，我們也将另一種可選方法留作練習，即同時拟合所有運動員的線段，使噪聲分散在所有運動員上。
針對圖2-17中的一幅曲線圖，我們可以用fitone()函數添加拟合曲線，代碼如下：
觀察圖2-18中的黑色虛線，這些線段似乎捕捉到了每個運動員的成績變化。
圖2-18 單個選手的跑步時間關于年齡的線性拟合。這裡我們用最小二乘法對每個運動員的比賽用時進行拟合，以增強圖2-17右下角的曲線圖。總共有30條左右單個選手的黑色虛線段
接下來檢查運動員與運動員之間的差異，我們使用以下調用對全部306位運動員進行線性拟合：
現在，對至少參賽8次的運動員（且在這些參賽年度中所居住的州名相同），我們用一個單一系數表示比賽用時和年齡之間的關系。這個系數以分鐘為機關，也是每年10英裡賽比賽的時間機關。如果系數為正，表示該參賽者因速度變慢而使每年比賽用時增加的分鐘數。
從圖2-19可以發現這些系數是如何随年齡進行變化的。大量參賽選手的個人成績發生了變化，很多人在30歲以後開始變慢，而少量的人在他們50多和60多歲期間跑得更快。不管怎樣，我們還是可以看到年齡和比賽用時之間的關系，在系數方面呈線性正相關趨勢。可以用如下方式進行拟合：
拟合的概要資訊如下：
圖2-19 運動員的縱向分析系數。該散點圖顯示了對300多位參賽選手進行直線拟合的斜率，這些選手都至少完成了8次櫻花賽。系數為負表示參賽選手随着年齡增長速度變得更快。該圖包括一條基于最小二乘法的拟合直線和一條loess拟合曲線。注意幾乎所有超過50歲的選手的系數都為正值。對于50歲的選手，系數的典型值是每年大約1分鐘
在圖中我們沿着0水準參考線添加拟合直線，同時使用loess()函數畫出平滑系數拟合曲線。該圖表明，在平均情況下，年齡低于35歲的運動員的成績有所提高。也就是說，低于35歲的選手的年齡系數是負值。假設的“平均”參賽選手在年齡超過35歲以後跑步開始放慢。到60歲時，這個典型選手每年大約會慢1.3分鐘，大緻是橫截面分析法顯示結果的2倍。