《從問題到程式：用Python學程式設計和計算》——2.8 重複計算和循環

本節書摘來自華章計算機《從問題到程式：用python學程式設計和計算》一書中的第2章，第2.8節,作者：裘宗燕 更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視。

在前面幾節，我們首先看到如何通過語句的順序組合構造最簡單的程式，這種程式是直線型程式，就是簡單的一系列語句。這樣的程式中隻有一條執行路徑（一種可能執行方式）：python解釋器順序執行程式裡的語句，每個語句執行一次，當語句序列中最後一條語句的執行結束時，整個程式的執行就結束了。

增加了if複合語句，能寫出的程式更多，程式的形式也更豐富，其中出現了選擇和分支。這樣得到的程式可稱為分支程式。在分支程式裡，每條基本語句最多執行一次，如果實際條件導緻的執行沒進入某個分支，該分支裡的語句就不會執行。這說明在處理不同資料時，實際執行的語句序列（執行路徑）有可能不同，存在多條不同執行路徑。但事情也很清楚，一個分支程式裡的所有可能執行路徑是可以列舉出來的。

直線型程式和分支程式的描述比較簡單，能完成的工作也簡單，隻是一組基本操作（包括表達式求值、變量指派、輸出輸入等）的順序組合。注意，分支隻是表達了對不同基本操作或操作序列的選擇。程式裡的每個基本語句至多執行一次，程式的長度（語句的總條數）是所有執行路徑長度的上限。這樣，程式的功能就受到程式長度的限制，能完成的工作隻是程式裡基本操作的不同組合。我們寫程式用了很多時間，解釋器一瞬間就執行完了。要使寫出的程式能完成更複雜的計算，就必須突破這種狀況。

2.8.1　重複計算

最基本的複雜計算就是重複計算，例如：

求1到10的整數之和；

求2到30的偶數之乘積；

求1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 …– 1/19，等等。

這裡的基本情況是：

需要做一系列重複性的計算；

計算中需要做的操作有規律，可以說清楚。

需要重複計算的情況很多，可以舉出其中的一些類别。最簡單的一類情況是寫程式時能确定需要重複的次數。對這類情況，通過一個可能較長的表達式，或者通過一系列語句，可能描述這種重複計算。例如求1到10的十個整數之和，可以寫：

或者

但是，這些寫法都太繁瑣，也不能處理一般情況。按前面的說法，對連續的一個整數區間裡的值求和是一個計算問題，求1到10的整數之和是其具體執行個體。上面程式隻是解決了一個具體執行個體，沒有太大用。而實際中可能有不同的情況和需要。例如，要求和的整數區間可能由輸入得到，按上面方式就無法寫出解決問題的程式了。當然，對上面這個簡單問題，存在求和公式，但這種情況并不具有一般性。

計算中需要做重複性工作是計算的本質，各種程式設計語言（包括python）都為描述重複計算提供了專門的結構，稱為循環結構或循環語句。循環語句是python裡的一類複合語句，其性質與順序和分支結構不同。在一個循環語句的執行中，其成分語句可能被多次執行，這就使很短的程式可能導緻非常長的操作執行序列。

python語言裡有兩種循環語句：for語句用于描述比較簡單比較規範的循環；while語句用于描述一般的複雜循環。它們都控制一個語句組的重複執行。

2.8.2　for語句和重複計算

for語句用一個循環控制器（在python裡稱為疊代器）描述其成分語句組的重複執行方式。其基本文法形式是：

for和in都是關鍵字，語句中包含了三個成分，最關鍵的是疊代器。由關鍵字for開始的行稱為循環的頭部，語句組稱為循環體。與if語句的情況類似，這裡語句組中的語句也是下一層的成分，同樣需要倒退，組中各語句必須互相對齊。

疊代器是python語言裡的一類重要機制。一個疊代器描述一個值序列（也就是說，一系列的對象），可以在一些特殊上下文中使用，例如用在for語句的頭部。for語句的語義是：讓變量順序取得疊代器表示的值序列中的各個值，對每個值執行語句組一次。由于循環體裡可以使用頭部引進的變量，在循環體每次執行時，該變量的值可能不同，是以，雖然反複執行的是同一段語句，但每次執行的效果卻可能不同。

下面是使用for語句的一個簡單執行個體，它求出0到99這100個數之和：

這個for語句的循環體裡隻有一個語句，每次執行把變量x的值加在變量s原有的值之上，在循環語句開始執行前給s指派0。

要了解上述程式段，最重要的問題就是range(100)的意義。range是python的一個内置函數，調用這個函數，就能得到一個疊代器（是以适合放在for語句頭部）。函數range有幾種不同調用方式，不同方式得到的疊代器情況如下：

range(n)　得到的疊代器表示序列0, 1, 2, ……, n-1。是以range(100) 表示序列0、1、2、……、99。

range(m, n)　得到的疊代器表示序列m, m+1, m+2, ……, n-1。例如range(10, 16)表示序列10、11、12、13、14、15。

range(m, n, d)　得到的疊代器表示等差序列m, m+d, m+2d, ……，按步進值d遞增（如果d為負就是遞減），直至那個最接近但不包括n的等內插補點。例如，range(10, 16, 2) 表示的序列是10、12、14，而range(15, 4, -3) 表示的序列是15、12、9、6。

對于range(n)，在n不大于0時序列為空。如果用這樣的疊代器控制for循環，其循環體将一次也不執行，整個for語句立即結束。對于range(m, n)，如果m≥n則序列為空。對于range(m, n, d)，d可以是正整數或負整數，表示增量是向上或者向下，也可能出現空序列的情況。很容易看清楚，這裡range函數的參數也描述了一個左閉右開的區間（或等差序列區間），與字元串切片的情況類似。

在上面for循環的循環體裡，隻寫了一個給變量s指派的語句。實際執行時，每次執行這個語句就會給s賦一個新值。在循環中反複修改（更新）一個或幾個變量的值，是程式裡最常用的一種技術。下面會看到很多這樣的例子。易見，簡單修改程式中range函數的參數，同一個程式就能完成對不同整數區間的求和。進而，用變量控制疊代器的範圍，同一個程式就能在不同的執行中完成對不同整數區間的求和。這些說明，有了循環語句，我們對計算機的工作方式和過程進行控制、安排其執行方式的能力大大增強了。

下面是一個一般的等差整數序列的求和程式：

這裡range的參數用b+1，因為range産生的序列總不包括這個參數值。

現在考慮一個實際問題：通過輸入指定對照表的範圍和溫度值間隔，生成攝氏與華氏溫度的對照表。一方面，這個問題與前一個類似，要求對一系列值做同樣計算。但又不同，其中對不同值的計算互相無關，隻是用了同一個計算公式。

從攝氏溫度c到華氏溫度f的計算公式是：

很容易寫出下面程式：

如果這個程式運作時依次輸入0、50、10，它将輸出：

考慮另一個計算問題：求階乘。由數學可知，正整數n的階乘是：

0的階乘定義為1。完成這個計算需要乘起一系列整數，直至某個在寫程式時不能确定的n。這種工作必須用循環處理。在重複計算中需記錄不斷增長的部分乘積，使用一個變量。

基于for循環實作這一計算，還需要确定range的調用方式，做出正确的疊代器（生成正确的整數序列）。考慮了各種情況後寫出的程式如下：

如果認為需要，也可以加入檢查輸入的結構。這裡實際上假設了輸入是非負整數，如果輸入的n值是0或1，range(2, n + 1) 生成的疊代器産生空序列，循環立即結束，結果正好為所需。用range(1, n + 1) 也對，不改變程式的意義。

下面程式重複三次要求輸入和求階乘的計算：

在這段程式裡，一個for循環的循環體裡出現了另一個for循環。由于for循環也是語句，可以出現在任何要求寫語句的程式結構裡，包括循環體。有人把這種情況稱為嵌套循環，或者多重循環。實際上，這種情況并不特殊。

在執行中，上面程式與使用者互動三次，每次通過輸入得到一個整數，完成階乘計算後輸出一個結果。這是一個簡單的階乘電腦，隻能做3次階乘。

最後再強調一下，内置函數range的使用，實際上反映了python有關一個值序列描述的原則：描述的總是左閉右開的序列。後面還會多次遇到類似的情況。

2.8.3　while語句和疊代

另一種循環語句是while語句，它用一個表示邏輯條件的表達式控制循環，在條件成立的情況下反複執行循環體，直至條件不成立時結束。while語句的形式很簡單：

解釋器執行while語句時首先求值其條件表達式，如果值為真就執行循環體語句組一次，然後重複上述動作；表達式的值為假時while語句立刻結束。

顯然，while語句可以實作for語句能實作的所有計算，例如，不難基于while語句寫出另一個求階乘的程式，其中用一個變量記錄不斷增長的乘數：

與前面采用for語句的程式相比，采用while語句時，必須自己管理循環中使用的變量i，自己做增量操作。這樣寫出的程式不如前一個簡單。

如果循環比較規範，循環中的控制比較簡單，事先可以确定循環次數，人們提倡用for語句而不用while語句，因為用前者寫出的程式往往更簡單，也更清晰。但是，也有一些循環無法用for語句寫出，必須用while描述。

舉個例子說明這種情況。現在計劃開發另一個更好的階乘電腦，希望它能任意次地接受輸入并計算階乘值，直至使用者希望結束為止。

這裡的情況與前面三次計算階乘的程式有些類似，需要把一段計算階乘的代碼包在一個循環裡。但是現在循環次數無法事先确定，而且，這個程式每次執行中需要計算階乘的次數有可能不同，根據使用者的需要确定。另外，我們也不要求使用者在程式開始時先決定計算的次數，并把這個次數告知（通過輸入）計算階乘的程式，而是允許使用者在程式工作中随時提出結束的要求。為了處理這種情況，我們需要給使用者提供一種表達結束的方式。由于負數的階乘沒有定義，我們可以規定一旦使用者輸入負數，循環就結束，而是否為負數就是電腦繼續工作（重複執行）的條件，可以用一個while語句描述。

确定了上面的問題解決方案之後，寫出程式已經不困難了：

下面是本程式一次執行的情況：

這是一個典型的互動式的計算程式，它不斷要求輸入，得到一個整數就做計算，而後輸出結果。實際上，這個程式可以看作是一台專用的計算機——階乘計算機，其行為恰如第1章的圖1.2所示。這台計算機的指令就是正整數，任何負整數都是它的停機指令。它的功能就是一條條地執行“指令”（計算階乘）并輸出結果。

上述程式有一個缺點：同樣的輸入語句在程式裡寫了兩次。多次重複寫同樣代碼是不好的現象。以上面程式為例，如果我們想修改提示符，就需要在兩個地方同時改，還需要維護一緻性。這種情況應該盡可能避免。然而，采用直至目前已經介紹的機制，上面程式的問題還沒有解決辦法。後面介紹的python功能可以解決這個問題。

還有一大類計算問題需要使用while循環。對于這類問題，人們通過研究設計出一套反複計算的規則，稱為疊代規則，并證明了反複使用規則就一定能得到解，但何時結束要看實際計算的實際進展情況。下面考慮一個具體問題。

現在考慮求實數平方根的問題。人們提出的計算規則如下：

假設要求實數x的平方根，任取y為某個實數值

如果y×y＝x，計算結束，y就是x的平方根

令z＝(y＋x/y)/2

令y的新值為z，轉回步驟1

通過這樣反複計算，可以得到一個y值的序列。人們已經證明這個序列将趨向于x的平方根。這種方法稱為計算平方根的牛頓疊代法。

根據上述方法可以直接寫出一個程式，顯然其中需要循環。程式如下：

這裡的guess表示對平方根的猜測，在循環的反複疊代執行中，這個猜測值被不斷改善，在其平方不等于x的情況下繼續改善。

上述程式的寫法應該沒錯（很簡單，是牛頓疊代法的直接翻譯），運作後給輸入2.0，我們會發現程式一直不能給出結果，看來可能是進入了死循環。在idle裡可以通過ctrl-c組合鍵中斷正在執行的程式。現在修改程式，在循環中加一個輸出語句：

可以看到，程式反複輸出同樣資訊（在作者機器上是1.414213562373095 1.9999999999 999996），變量guess的平方總也不能恰好等于2.0，循環無法終止。

實際上，這裡遇到的也是近似計算帶來的問題。由于2.0的平方根是無理數，浮點數隻能表示其近似值，而且精度有限，再加上所做的乘法是近似計算。兩者疊加，疊代中變量值的平方總不能等于2.0，導緻循環永遠也無法結束。

浮點數計算是近似的，使用浮點計算，隻能希冀得到近似的結果。由于這個情況，對求平方根問題，我們隻能考慮在guess的平方足夠接近x時結束，不能用等于判斷。例如，可以取兩者誤差的絕對值不超過10-8。基于這個想法，很容易寫出下面程式：

對給定浮點數，這個程式很快就能算出結果。這裡的abs是前面介紹過的python内置函數，它求出參數的絕對值。顯然其參數應該是數值。

為了了解程式疊代的情況，我們可以修改程式，讓它多輸出一些資訊：

這裡增加了一個計數變量，幫助統計循環的次數，用print同時輸出當時的guess值，使人可以看到猜測值逼近最終結果的過程。對浮點數2.0的試驗情況如下：

疊代4次就得到了結果，說明牛頓疊代法計算收斂得非常快。讀者可以修改程式的精度要求，或者換一些其他數值做試驗，觀察程式執行情況的變化。

python的一個優點是很容易做各種計算試驗，本質上是利用計算機可程式設計的優點。但python語言的設計使人在做這些事情時非常友善。讀者可以自己考慮一些有趣的計算問題，做些試驗，觀察分析計算中的情況和問題。

2.8.4　循環控制

for語句和while語句都是通過頭部控制循環的進行，一旦執行進入循環體，就會完整地執行一遍其中的語句，然後再重複。實際中也存在一些情況，其中在一定條件下應該隻執行循環體的一部分，然後就退出循環，或者立刻轉去做循環的下一次疊代。為了滿足這類需要，python提供了兩個特殊的循環控制語句。

循環中斷語句的形式很簡單，隻是一個關鍵字break。如果在循環體的執行中遇到這個語句，目前的循環語句立刻結束，解釋器轉到循環之後的語句。

循環繼續語句的形式也很簡單，就是一個關鍵字continue，如果在循環體執行中遇到這個語句，循環體的本次執行結束，執行回到循環頭部，根據頭部的要求繼續。

顯然，這兩個語句都隻能出現在循環體裡面，而且隻能控制包含着它們的最内層循環語句（請注意，循環可以嵌套）。此外，這兩個語句通常總是出現在某個條件語句裡，在一定條件下才做相應的動作。兩者中break使用得更廣泛一些。

現在考慮前面遺留的一個問題，利用break改造前面的階乘電腦，消除其中重複的語句。由于用break可以從循環的中間退出，下面程式能完成同樣的工作：

這裡的循環條件是true，表示條件永遠成立，這個循環不會由于頭部檢查而結束。但由于在循環裡出現了帶條件的break語句，一旦其條件成立，循環就會結束。是以，不能說這是一個死循環，隻要計算中break的條件成立，循環就會結束。對于這個例子，隻要使用者輸入小于0，執行就會到達break語句，循環就結束了。

後面會看到更多使用break的例子，也可以看到使用continue的例子。