《ANSYS CFX 14.0超級學習手冊》——1.3 流體力學數值計算基礎

本節書摘來自異步社群《ansys cfx 14.0超級學習手冊》一書中的第1章，第1.3節,作者： 高飛 , 李昕 更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視。

ansys cfx 14.0超級學習手冊

随着計算機技術和計算方法的發展，許多複雜的工程問題都可以采用區域離散化的數值計算方法并借助計算機得到滿足工程要求的數值解。數值計算技術是現代工程學形成和發展的重要動力之一。

1.3.1　數值計算方法和分類

區域離散化就是用一組有限個離散的點來代替原來連續的空間，實施過程是把所計算的區域劃分成許多互不重疊的子區域，确定每個子區域的節點位置和該節點所代表的控制體積。

節點是指需要求解的未知實體量的幾何位置，控制體積是指應用控制方程或守恒定律的最小幾何機關。

一般把節點看成控制體積的代表，控制體積和子區域并不總是重合的，在區域離散化過程開始時，由一系列與坐标軸相應的直線或曲線簇所劃分出來的小區域稱為子區域。網格是離散的基礎，網格節點是離散化實體量的存儲位置。

常用的離散化方法有有限差分法、有限元法和有限體積法。對這三種方法分别介紹如下。

1．有限差分法

有限差分法（finite difference method，fdm）是計算機數值模拟最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法将求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法用泰勒（taylor）級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，進而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。其基本的差分表達式主要有四種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分。

其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組成不同的差分計算格式。

2．有限元法

有限元法（finite element method，fem）的基礎是變分原理和權重餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元内，選擇一些合适的節點作為求解函數的插值點，将微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或權重餘量法，将微分方程離散求解。

有限元法最早應用于結構力學，後來随着計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模拟，但是它的求解速度比有限差分法和有限體積法慢，在商用cfd軟體中應用并不廣泛。

3．有限體積法

有限體積法（finite volume method，fvm）又稱為控制體積法（control volume method, cvm）。其基本思路是：将計算區域劃分為網格，并使每個網格點周圍有一個互不重疊的控制體積；将待解微分方程（控制方程)對每一個控制體體積積分，進而得到一組離散方程，其未知數是網格點上的因變量（可以是速度、壓力以及溫度等）。

為了求出控制體積的積分，必須假定因變量在網格點之間的變化規律。從積分區域的選取方法來看，有限體積法屬于權重餘量法中的子域法；從未知量的近似來看，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。

就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物。有限體積法隻尋求節點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限元法相類似。

在有限體積法中，插值函數隻用于計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。

另外，有限體積法最吸引人的特征是：所得到的結果将意味着任何一組的控制體積内，當然也就是在整個計算域内，諸如品質、動量以及能量這樣的一些實體量的積分守恒都可以精确地得到滿足。

對于任意數目的網格節點，這一特征都存在，因而即便是粗網格的解也照樣顯示準确的積分平衡，這也就使有限體積法比有限差分法和有限元法更有優勢。有限體積法是目前在流體流動和傳熱問題求解中最有效的數值計算方法，已經得到了廣泛的應用。

簡言之，子域法加離散就是有限體積法的基本思想。

1.3.2　基于有限體積法的控制方程離散

将連續空間用離散的點來記錄，稱為離散化，在離散的點之間用光滑的曲線通過内插來連接配接，構成整個計算區域内的資料分布。

對于在求解域内所建立的偏微分方程，理論上是有真解的，但是，由于所處理問題自身的複雜性，如複雜的邊界條件或者方程自身的複雜性等，造成很難獲得方程的真解。是以，就需要通過數值的方法把計算域内的有限數量位置（即網格節點）上的因變量值當作基本未知量來處理，進而建立一組關于這些未知量的代數方程，然後通過求解代數方程組來得到這些節點值，而計算域内其他位置上的值則根據節點位置上的值來确定。這樣，偏微分方程定解問題的數值解法可以分為兩個階段。

首先，用網格線将連續的計算域劃分為有限離散集，即網格節點，并選取适當的途徑将微分方程及其定解條件轉化為網格節點上相應的代數方程組，即建立離散方程組。然後在計算機上求解離散方程組，得到節點上的解。

其次，節點之間的近似解，一般認為光滑變化，原則上可以用插值方法确定，進而得到定解問題在整個計算域上的近似解。這樣，用變量的離散分布近似解代替了定解問題精确解的連續資料，這種方法即為離散近似法。

數值流體力學的問題一般是要了解每時每刻流場的變化，即對支配方式進行積分求解，實際上是求空間離散點（網格）上的壓力、速度等實體量。

有限體積法的基本思想在上一小節已有介紹，這裡不再贅述。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。

用于計算通量的常見方法包括一階迎風格式、指數率格式、二階迎風格式、quick格式和中心差分格式。

“迎風”的概念是相對于局部法向速度定義的。所謂迎風格式，就是用上遊變量的值計算本地的變量值。在使用一階迎風格式時，邊界上的變量值被取為上遊單元控制點上的變量值。迎風格式又包括了一階迎風格式和二階迎風格式，它們都可以看作流場變量項在上遊網格單元控制點展開後的特例。

不同的是一階迎風格式僅僅保留泰勒級數的第一項，因次認為本地單元邊界點的值等于上遊網格控制點的值，其格式精度為一階精度；二階迎風格式則保留了泰勒級數的第一項和第二項，因而認為本地單元邊界點的值等于上遊網格控制點的值與一個增量的和，因而其精度為二階。

quick格式使用權重和插值的混合形式給出邊界點上的值。quick格式是針對結構網格，也就是常說的四邊形網格和六面體網格而提出的。

非結構化網格也可以選用quick格式，不過在計算時，非結構化網格邊界點上的值是用二階迎風格式計算的。在流動方向與網格劃分方向一緻時，quick格式具有更高的精度。