本節書摘來異步社群《貝葉斯思維：統計模組化的python學習法》一書中的第1章，第1.4節，作者：【美】allen b. downey，更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視
現在，我們準備好進行貝葉斯定理推導需要的所有條件了。首先，我們注意到，聯合機率是乘積可交換（乘法交換律）的，即：
p(a and b) = p(b and a)
對于任何a，b表示的事件都成立。
然後，我們寫出一個聯合機率的表達式：
p(a and b) = p(a)p(b|a)
由于我們并沒有明确定義a和b的含義，因而可以對a、b進行互換操作。
交換它們的位置：
p(b and a) = p(b)p(a|b)
把這些表達式連接配接起來，我們得到下面的表達式：
p(b)p(a|b)= p(a)p(b|a)
這意味着我們有兩種方式計算聯合機率，已知p(a)，乘以p(b|a)；或者從另一方向，已知p(b)，乘以p(a|b)。兩種方法是相同的。
最後，将上式除以p(b)，得到：
這正是貝葉斯定理！看起來不起眼，不過它會顯示出令人吃驚的強大之處。
例如，我們可以用它來解決曲奇餅問題。
假設b1表示曲奇餅屬于碗1的機率，v表示曲奇餅是香草曲奇餅的機率。
帶入貝葉斯定理我們得到：
等式左邊就是我們希望得到的，一塊香草曲奇餅來自碗1的機率。
等式的右邊表示：
p(b1)：這是我們忽略得到曲奇餅這個條件時（零條件下）選中碗1的機率。因為選擇碗的過程是随機的，我們可以假設p(b1)=1/2。
p(v|b1)：這是從碗1得到一個香草曲奇餅的機率＝3/4。
p(v)：從任意碗裡得到一個香草曲奇餅的機率。因為考慮到選擇碗的機會均等，而且每個碗的曲奇餅數量都是40，得到曲奇餅的機會是相同的。兩個碗中香草和巧克力曲奇餅總數各是50和 30，是以p(v)＝5/8。
把它們放在一起，我們得到：
結果是3/5。是以，“得到一塊香草曲奇餅”是支援于假設“來自碗1”的證據，因為香草曲奇餅來自碗1的可能性更大。
這個例子示範了一個應用貝葉斯定理的案例：它提供了一個從p(b|a) 得到p(a|b)的政策。
這種政策在解決類似“曲奇餅問題”的情況下是有用的，即從貝葉斯等式的右邊計算要比左邊容易的情況下。