本節書摘來自異步社群《python極客項目程式設計 》一書中的第2章，第2.1節，作者 [美] mahesh venkitachalam，王海鵬 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“異步社群”公衆号檢視。
我們可以用萬花尺玩具（如圖2-1所示）來繪制數學曲線。這種玩具由兩個不同尺寸的塑膠齒輪組成，一大一小。小的齒輪有幾個孔。把鋼筆或鉛筆放入一個孔，然後在較大齒輪（内部有齒）内旋轉裡面的小齒輪，保持筆與外輪接觸，可以畫出無數複雜而奇妙的對稱圖案。
在這個項目中，我們将用python來建立動畫，像萬花尺一樣繪制曲線。我們的spiro.py程式将用python和參數方程來描述程式的萬花尺齒輪的運動，并繪制曲線（我稱之為螺線）。我們可以将完成的畫圖儲存為png圖像檔案，并用指令行選項來指定參數或生成随機螺線。
在這個項目中，我們将學習如何在計算機上繪制螺線。還将學習以下幾點：
用turtle子產品建立圖形；
使用參數方程；
利用數學方程來生成曲線；
用線段來畫曲線；
用定時器來生成圖形動畫；
将圖形儲存為圖像檔案。
關于這個項目要注意：我在這個項目中選擇了turtle子產品用于說明展示，因為它很有趣，但turtle比較慢，如果性能很關鍵，就不适合用它來建立圖形（你對海龜有何期望？）。如果想快速畫圖，有更好的方法，後面的項目将探索一些可選方案。
在本節中，你将看到用參數方程來畫圓的簡單例子。參數方程将曲線上點的坐标表示為一個變量的函數，該變量稱為參數。參數方程讓繪制曲線變得容易，因為隻要将參數代入方程就能産生曲線。
注意
如果你現在不想學習這部分數學知識，可以跳到下一部分，讨論針對萬花尺項目的方程。
我們開始考慮用半徑r來描述一個圓的方程，圓心位于二維平面的原點。x、y坐标滿足該方程的所有點構成了圓。
現在，請考慮下面的方程：
這些方程是圓的參數表示，其中角θ是參數。這些方程中（x，y）的任何值，都滿足前面描述的圓的方程，x2 + y2= r2。如果讓θ從0變到2π，可以用這些方程來計算圓上對應的x和y坐标。圖2-2展示了這種方案。
記住，這兩個方程适用于圓心在坐标系原點的圓。将圓心轉換到點(a, b)，就可以将圓置于xy平面的任何位置。是以更一般的參數方程就變成x = a + r cos(θ)和y = b + r cos(θ)。現在，讓我們來看看描述螺線的方程。
圖2-3展示了類似萬花尺運動的數學模型。該模型沒有齒輪，因為玩具中的齒輪隻是為了防止打滑，而在這裡不必擔心打滑。
在圖2-3中，c是較小的圓的圓心，p是筆尖。較大的圓半徑為r，較小的圓半徑為r。半徑之比表示如下：
将線段pc與小圓半徑r之比作為變量l（l = pc / r），它決定了筆尖離小圓圓心有多遠。然後，組合這些變量來表示p的運動，得到如下的參數方程：
這些曲線稱為内旋輪線和外旋輪線。雖然方程可能看起來有點吓人，但推導是非常簡單的。如果你想探索其中的數學，請參見維基百科。
圖2-4展示了如何用這些方程，基于參數的變化，産生一條曲線。通過改變參數r、r和l，可以産生變化無窮的迷人曲線。
将曲線繪制為一系列點之間的線段。如果這些點足夠接近，圖看起來就像平滑的曲線。真正玩過萬花尺就知道，這取決于使用的參數，萬花尺可能需要許多轉數來完成。要确定何時停止繪圖，就要利用萬花尺的周期性（即萬花尺圖案多久開始重複），研究内外圓的半徑之比：
分子分母除以它們的最大公約數（gcd），化簡該分數，分子就告訴我們需要多少圈才能完成曲線。例如，在圖2-4中，(r, r)的gcd是5。
下面是該分數化簡後的形式：
這告訴我們，13圈後，曲線将開始重複。44告訴我們小圓圍繞其中心旋轉的圈數，它提示了曲線的形狀。在圖2-4中數一下，會看到圖形中花瓣或葉的數目恰好是44！
一旦用簡化形式表示了半徑比r/r，畫出螺線的參數θ範圍就是[0，2πr]。這告訴我們何時停止繪制特定的螺線。不知道該角度的結束範圍，就會循環不止，不必要地重複該曲線。
我們可以用python的turtle子產品來建立圖案。這是一個簡單的繪圖程式，模型是一隻海龜拖着尾巴穿過沙灘，留下圖案。turtle子產品包括了一些方法，用于設定筆（海龜的尾巴）的位置和顔色，以及其他有用的繪圖函數。如你所見，隻要少量繪圖函數，就可以建立漂亮的螺線。
例如，這個程式用turtle畫圓。輸入以下代碼，儲存為drawcircle.py，在python中運作它：
在1行，從導入turtle子產品開始。接下來，定義drawcircleturtle()方法，它在2行調用up()。這告訴python提筆。換句話說，讓筆離開虛拟的紙，這樣移動海龜也不會畫圖。開始繪圖之前，先定位海龜。
在3行，将海龜的位置設定為橫軸上的第一個點：(x + r, y)，其中(x，y)是該圓的圓心。現在準備好畫圖了，是以在4行調用down()。在5行，利用range(0, 365, 5)開始循環，以5為步長遞增變量i，從0到360，變量i是角度參數，将傳入圓的參數方程，但首先在6行将它從度轉為弧度（大多數計算機程式的角度計算需要弧度）。
在7行，利用前面讨論過的參數方程計算圓的坐标，并設定相應的海龜位置，這樣就從海龜上一個位置畫線到新計算的位置（從技術上講，産生的是n邊多邊形，但因為用了很小的角度，n将非常大，多邊形看起來像一個圓）。
在8行，調用drawcircleturtle()來畫圓，在9行，調用mainloop()，它保持tkinter視窗打開，讓你可以欣賞你畫的圓（tkinter是python預設的gui庫）。
現在，我們準備好畫一些螺線了！