本節書摘來自華章出版社《 線性代數及其應用 （原書第4版）》一書中的第2章，第2.4節，作者:（美）戴維c. 雷（david c. lay）馬裡蘭大學帕克學院 著劉深泉 張萬芹 陳玉珍 包樂娥 陸 博 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視
我們既可以把矩陣看作一個數的矩形表，也可以把它看作一組列向量，後面這種看法起了很重要的作用，因而，我們想考慮a的其他分塊，把它用水準線和豎直線分成幾塊，如下面例1所示. 分塊矩陣也出現線上性代數的現代應用中，因為這些記号簡化了許多讨論，并使矩陣計算中許多本質的結構顯露出來. 本節也給出複習矩陣代數和可逆矩陣定理的機會.
例1 矩陣
也可寫成
分塊矩陣
的形狀，它的元素是分塊（或子矩陣）
例2 當某一矩陣a出現在實體問題的數學模型中時，例如，電子網絡、傳輸系統或大公司等，會很自然地把a看作一個分塊矩陣. 例如，若一個微型計算機電路闆主要由3塊超大規模的內建電路晶片組成，如圖2-9所示，
那麼這電路闆的矩陣可以寫成一般形式
a的“對角”線上的子矩陣，即
是有關3塊超大規模內建電路本身的矩陣，而其他子矩陣則與這三塊晶片之間的互相聯系有關.
加法與标量乘法
若矩陣a與b有相同維數且被同樣地分塊，則自然矩陣的和a + b也被同樣地分塊. 這時a + b的每一塊恰好是a和b對應分塊的（矩陣）和. 分塊矩陣乘以一個數也可以逐塊計算.
分塊矩陣的乘法
分塊矩陣也可用通常的行列法則進行，就如每一塊都是數一樣，隻要a的列的分法與b的行的分法一緻.
例3 設
a的5列被分成3列一組和2列一組. b的5行按同樣方法分塊——被分成3行一組和2行一組. 我們稱a和b的分塊是與分塊乘法相一緻的. ab的乘積可以被寫成
重要的是，在ab的表達式中的小乘積，每一項應把來自a的子矩陣寫在左邊，因矩陣乘法是不可交換的. 例如
是以ab的上面一塊是
分塊矩陣乘法的行列法則給出了兩個矩陣乘積的最一般觀點. 下面每一個有關矩陣乘積的觀點已經使用簡單的矩陣分塊的思想讨論過：（1）使用a的列來給出 ax的定義；（2）ab的列的定義；（3）計算ab的行列法則；（4）a 的行與矩陣b的乘積作為ab的行. 在下面的定理10仍然應用分塊的思想給出ab第5種觀點.
下面的例子為定理10做準備. 符号
表示a的第k列，
表示b的第k行.
例4 設
和
. 證明
解 上面的每一項都是外積（見2.1節習題27和28），由計算矩陣乘積的行列法則，有
于是
這個矩陣恰好就是ab. 注意ab的（1, 1）元素是3個外積的（1, 1）元素之和，ab的（1, 2）元素是3個外積的（1, 2）元素之和，等等.
定理10 （ab的列行展開）
若a是
矩陣，b是
矩陣，則
（1）
證 對每個行名額i 和列名額 j，乘積
的 (i,j)元素是
中元素
與
的積，是以在（1）的和中，(i,j) 元素為
而根據行列法則，該和恰好是ab的 (i,j)元素.
分塊矩陣的逆
下例說明分塊矩陣的逆的求法.
例5 形如
的矩陣稱為分塊上三角矩陣，設
是
矩陣，
矩陣，且a為可逆矩陣. 求
的表達式.
解 用b表示
且把它分塊使
（2）
這個矩陣方程包含了4個有關未知子矩陣 的方程，計算（2）式左邊的乘積得
（3）
（4）
（5）
（6）
方程（6）本身并不能說明
可逆，因我們還不知道
，但應用可逆矩陣定理，及
是方陣的事實，可以斷定
為可逆且
. 現在我們利用（5）式求得
是以（3）式簡化為
這說明
是可逆的，且
，最後由（4），
分塊對角矩陣是一個分塊矩陣，除了主對角線上各分塊外，其餘全是零分塊. 這樣的一個矩陣是可逆的當且僅當主對角線上各分塊都是可逆的. 見習題13和14.
數值計算的注解
當矩陣太大時，不适于存儲在高速計算機記憶體中，分塊矩陣允許計算機一次處理兩到三塊子矩陣，例如，最近關于線性規劃的工作中，一個研究團隊把矩陣分為837行和51列以簡化問題. 這個問題的解在cray超計算機上大約需要4分鐘 .1
某些高速計算機，特别是具有向量傳輸技術的計算機，當把矩陣分塊後再進行矩陣運算更有效 .1
高性能數值計算的線性代數專業軟體lapack，廣泛使用分塊矩陣進行計算.
下面的習題給出了運用矩陣代數的實踐，表明了應用中的典型計算.
練習題
證明
可逆且求出它的逆.
計算
，其中x 分塊為
.
習題2.4