本節書摘來自華章出版社《 線性代數及其應用 （原書第4版）》一書中的第1章，第1.7節，作者:（美）戴維c. 雷（david c. lay）馬裡蘭大學帕克學院 著劉深泉 張萬芹 陳玉珍 包樂娥 陸 博 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視
1.5節的齊次線性方程組也可從另一觀點研究，即把它們寫成向量方程. 這時，重點從ax=0 的未知數的解轉向出現在向量方程中的向量.
例如，考慮方程
（1）
此方程當然有平凡解，即
，如1.5節，主要問題是，平凡解是否是唯一解.
定義
中一組向量
稱為線性無關的，若向量方程
僅有平凡解. 向量組（集）
稱為線性相關的，若存在不全為零的權
，使
（2）
方程（2）稱為向量
之間的線性相關關系，其中權不全為零. 一組向量為線性相關，當且僅當它不是線性無關的. 為簡單起見，我們也可說
線性相關，意思是向量組（集）
是線性相關組. 對線性無關組也使用類似的語言.
例1 設
确定向量組
是否線性相關.
可能的話，求出
的一個線性相關關系.
解 a. 我們需要确定方程（1）是否有非平凡解，把增廣矩陣進行行變換，得
顯然，
和
為基本變量，
為自由變量.
的每個非零值确定（1）的一組非平凡解，是以
線性相關.
為求出
的線性關系，繼續化簡增廣矩陣，寫出新的方程組
故
為自由變量. 選取
的一個非零值，比如
，則
，把這些值代入（2）得
這是一個（無窮多個之中的一個）可能的線性相關關系.
矩陣各列的線性無關
設我們考慮矩陣
，矩陣方程 ax=0可以寫成
a的各列之間的每一個線性相關關系對應于方程ax=0 的一個非平凡解. 是以我們有下列重要事實.
矩陣a 的各列線性無關，當且僅當方程ax=0 僅有平凡解.
例2 确定矩陣
的各列是否線性無關.
解 研究 ax=0，把增廣矩陣行變換：
此時，顯然方程有3個基本變量，沒有自由變量，是以方程ax=0 僅有平凡解， a的各列是線性無關的.
一個或兩個向量的集合
僅含一個向量，比如說由 v形成的集合線性無關當且僅當v不是零向量. 這是因為當
時向量方程
僅有平凡解. 零向量是線性相關的，因
有許多非平凡解.
下列例子說明兩個向量線性相關的情況.
例3 确定下列向量組是否線性無關
解 a. 注意
是
的倍數，即
. 是以-2v1+v2=0，表明
的任意一個不是另一個的倍數. 它們能否線性相關？設c 和 d滿足
若
，我們可用
表示
，即
，這是不可能的，因
不是
的倍數. 故 c必是零. 類似地 d必是0，于是
是線性無關組.
例3中的讨論說明，你總可以用觀察法來決定兩個向量是否線性相關. 行變換是不必要的，隻要看一個向量是否是另一個向量的倍數即可（這個方法隻能用于兩個向量的情況）.
兩個向量的集合
線性相關，當且僅當其中一個向量是另一個向量的倍數. 這個集合線性無關，當且僅當其中任一個向量都不是另一個向量的倍數.
從幾何意義上看，兩個向量線性相關，當且僅當它們落在通過原點的同一條直線上. 圖1-30表示例3中兩組向量的情況.
兩個或更多個向量的集合
下面定理的證明類似于例3的思路. 詳細的證明在本節末給出.
定理7 （線性相關集的特征）
線性相關，當且僅當 s中至少有一個向量是其他向量的線性組合，事實上，若 s線性相關，且
，則某個
它前面幾個向量
的線性組合.
警告 定理7沒有說線上性相關集中每一個向量都是它前面的向量的線性組合，線性相關集中某個向量可能不是其他向量的線性組合. 見練習題3.
例4 設
，叙述u 和 v生成的集合，并說明向量 w屬于span{u,v} 當且僅當{u,v,w} 線性相關.
解 向量u 和 v是線性無關的，因為它們之中任何一個不是另一個的倍數，是以它們生成
中一個平面（見1.3節），事實上， span{u,v}就是
平面（即
），若 w是u 和v 的線性組合，由定理7知 {u,v,w}線性相關，反之，設 {u,v,w}線性相關，由定理7知{u,v,w} 中某一向量是它前面的向量的線性組合（因
），這向量必是 w，因為 v不是u 的倍數. 因而w 屬于 span{u,v}，見圖1-31.
例4可推廣到
中任意集合{u,v,w} ，其中 u與 v線性無關. 這時集合 {u,vw}線性相關當且僅當w 在 u和v 所生成的平面上.
下面兩個定理說明了線性相關的一些條件. 定理8在今後各章中是一個關鍵的結果.
定理8 若一個向量組的向量個數超過每個向量元素個數，那麼這個向量組線性相關. 就是說，
中任意向量組
，當 p > n時線性相關.
證 設
，則 a是n*p 矩陣，方程對應于 p個未知量的n個方程，若 p>n，未知量比方程多，是以必定有自由變量. 是以ax=0 必有非平凡解，是以a 的各列線性相關，圖1-32給出了這個定理的矩陣說明.
警告 定理8沒有涉及向量組中向量個數不超過每個向量中元素個數的情形.
例5 向量
線性相關. 因為每個向量僅有2個元素而共有3個向量，注意：其中任何一個向量并不是另一向量的倍數. 見圖1-33.
定理9 若向量組
包含零向量，則它線性相關.
證 把這些向量重新編号，我們可設
，于是方程
證明了s 線性相關.
例6 用觀察法确定下列向量組是否線性相關.
解 a. 這個向量組包含4個向量，每個向量僅有3個元素，是以它們線性相關.
定理8不能應用，因為向量個數不超過每個向量中元素個數. 因該組中有零向量，根據定理9，是以它線性相關.
若我們比較兩向量的對應元素，第2個向量看來是第一個向量的-3/2倍. 這個關系對前3對元素成立，但對第4個不成立. 是以，這兩向量中任意一個不是另一個的倍數，是以是線性無關的.
一般地，你必須把每一節完整地讀幾遍才能了解像線性相關這樣的重要概念. 學習指導書中的這一節的注解對你掌握線性代數中的這一重要思想是很重要的. 例如，下列的證明值得一讀，因為它指出如何應用線性無關的定義.
定理7（線性相關集的特征）的證明 若s 中某個
是其他向量的線性組合，那麼把方程兩邊減去
就産生一個線性關系，其中 的權為（-1），例如，若
，那麼
于是 s 線性相關.
反之，設 s線性相關，若
為零，則它是 s中其他向量的一個（平凡）線性組合. 若不為零，存在
不全為零，使
設j是使
的最大下标. 若j=1 則
，故 j>1. 而
練習題
設
.
集合{u,v} ,{u,w},{u,z},{v,w},{v,z}和{w,z} 都是線性無關的嗎？為什麼？
練習題1的答案是否蘊涵着{u,v,w,z} 也線性無關？
為确定 {u,v,w,z}是否線性相關，是否有必要驗證w 是 u,v,z的線性組合?
{u,v,w,z} 是否線性相關？
習題1.7