本節書摘來自華章出版社《 線性代數及其應用 （原書第4版）》一書中的第1章，第1.5節，作者:（美）戴維c. 雷（david c. lay）馬裡蘭大學帕克學院 著劉深泉 張萬芹 陳玉珍 包樂娥 陸 博 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視
線性方程組的解集是線性代數研究的重要對象，它們出現在許多不同的問題中. 本節使用向量符号給出這樣的解集的顯式表示以及幾何解釋.
齊次線性方程組
線性方程組稱為齊次的，若它可寫成 ax=0的形式，其中 a是m*n 矩陣而 0是
中的零向量. 這樣的方程組至少有一個解. 即x=0 (
中的零向量)，這個解稱為它的平凡解. 對給定方程 ax=0，重要的是它是否有非平凡解，即滿足 ax=0的非零向量 x. 由1.2節解的存在性與唯一性定理（定理2），得出以下事實.
齊次方程ax=0 有非平凡解，當且僅當方程至少有一個自由變量.
例1 确定下列齊次方程組是否有非平凡解，并描述它的解集.
解 令 a為該方程組的系數矩陣，用行化簡法把增廣矩陣[a 0] 化為階梯形.
因
是自由變量，ax=0 有非平凡解（對
的每一選擇都有一個解），為描述解集，繼續把 [a 0]化為簡化階梯形：
解出基本變量
和
得
是自由變量，ax=0 的通解有向量形式
這裡
由通解向量的表達式中作為公因子提出來. 這說明本例中ax=0 的每一個解都是 v的倍數. 平凡解可由
得到. 幾何意義下，解集是
中通過0 的直線，見圖1-21.
注意，非平凡解向量 可能有些零元素，隻要不是所有元素都是0就行.
例2 單一方程也可看作方程組，描述下列齊次“方程組”的解集.
（1）
解 這裡無須矩陣記号. 用自由變量表示基本變量 .
通解為
為自由變量. 寫成向量形式，通解為
（2）
計算表明，方程（1）的每個解都是向量u 和v 的線性組合，如（2）式所示. 即解集為span{u,v} ，因為，u 不是 v的倍數，解集是通過原點的一個平面. 見圖1-22.
例1和例2以及後面的練習，說明齊次方程ax=0 總可表示為
，其中
是适當的解向量. 若唯一解是零向量，則解集就是 span{0}，若方程ax=0 僅有一個自由變量，解集是通過原點的一條直線，見圖1-21. 若有兩個或更多自由變量，那麼圖1-22的通過原點的平面就給出ax=0 的解集的一個很好的圖形說明. 注意，類似的圖可用來解釋 span{u,v}，即使u,v 并不是ax=0 的解，見1.3節圖1-17.
參數向量形式
最初的方程（1）是例2中的平面的隐式描述，解此方程就是要找這個平面的顯式描述，就是說，将它作為u 和v所生成的子集. 方程（2）稱為平面的參數向量方程. 有時也可寫為
x= su +tv（s,t 為實數）
來強調參數可取任何實數值，例1中，方程
(
是自由變量)，或 x=tv( t為實數)，是直線的參數方程，當解集用向量顯式表示為如例1和例2時，我們稱之為解的參數向量形式.
非齊次方程組的解
當非齊次線性方程組有許多解時，一般可表示為參數向量形式，即由一個向量加上滿足對應的齊次方程的一些向量的任意線性組合的形式.
例3 描述ax=b 的解，其中
解 這裡 a就是例1的系數矩陣. 對[a b] 作行變換得
是以
,
為自由變量，ax=b 的通解可寫成向量形式
方程
，或用 t 表示一般參數，
（3）
就是用參數向量形式表示 ax=b的解集. 回憶例1中 ax=0的解集有參數向量形式
（4）
（v 與（3）中的v 相同），故ax=b 的解可由向量 p加上ax=0 的解得到，向量 p本身也是 的一個特解ax=b（在（3）中對應 t=0）.
為了從幾何上描述ax=b 的解集，我們可以把向量加法解釋為平移，給定
或
中的向量 v與p ，把p 加上v 的結果就是把 v沿着平行于通過 p與0的直線移動，我們稱 v被平移 p到 v+p，見圖1-23. 若
中的直線 l上的每一點被平移p ，就得到一條平行于 l的直線，見圖1-24.
設l 是通過0 與 v的直線，由方程（4）表示. l的每個點加上p 得到由方程（3）表示的平移後的直線. 注意p 也在直線（3）上. 稱（3）為通過p 平行于v 的直線方程. 于是 ax=b 的解集是一條通過p 而平行于ax=0 的直線. 圖1-25說明了這一結論.
圖1-25中ax=b 和ax=0 的解集之間的關系可以推廣到任意相容的方程ax=b ，雖然當自由變量有多個時，解集将多于一條直線. 下列定理給出了這一結論，證明見習題25.
定理6 設方程 ax=b對某個b 是相容的， p為一個特解，則 ax=b的解集是所有形如
的向量的集，其中
是齊次方程 ax=0的任意一個解.
定理6說明若 ax=b有解，則解集可由ax=0 的解平移向量 p得到， p是 ax=b的任意一個特解，圖1-26說明當有兩個自由變量時的情形. 即使當n>3 時，相容方程組 ax=b（
）的解集也可想象為一個非零點或一條不通過原點的線或平面.
警告 定理6與圖1-26僅适用于方程 ax=b至少有一個非零解p 的前提下.
下列算法總結了例1、2和3中的計算.
把相容方程組的解集表示成參數向量形式
把增廣矩陣行化簡為簡化階梯形.
把每個基本變量用自由變量表示.
把一般解 x表示成向量，如果有自由變量，其元素依賴于自由變量.
把 x分解為向量（元素為常數）的線性組合，用自由變量作為參數.
練習題
下列兩個方程都确定
中的平面，它們是否相交？如果相交的話，描述它們的交集.
寫出方程
的參數向量形式的通解，讨論這個解集與例2中的解集的關系.
習題1.5