本節書摘來自華章出版社《 線性代數及其應用 （原書第4版）》一書中的第1章，第1.4節，作者:（美）戴維c. 雷（david c. lay）馬裡蘭大學帕克學院 著劉深泉 張萬芹 陳玉珍 包樂娥 陸 博 譯，更多章節内容可以通路雲栖社群“華章計算機”公衆号檢視
線性代數中的一個基本思想是把向量的線性組合看作矩陣與向量的積. 下列定義允許我們将1.3節的某些概念用新的方法表述出來.
定義 若a 是m*n 矩陣，它的各列為
. 若x 是
中向量，則a 與x 的積，記為 ax，就是a 的各列以x 中對應元素為權的線性組合，即
注意ax 僅當a的列數等于 x中元素個數時才有定義.
例1
例2 對
中
，把線性組合
表示為矩陣乘向量的形式.
解 把
排列成矩陣 a，把數3，-5，7排列成向量 x，即
在1.3節中我們學習了将線性方程組寫成包含向量線性組合形式的向量方程，例如，方程組
（1）
等價于
（2）
如例2所示，我們也可将方程左邊的線性組合寫成矩陣乘向量的形式，（2）成為
（3）
方程（3）有形式 ax=b，我們稱這樣的方程為矩陣方程，以差別于（2）式那樣的向量方程.
注意（3）中的矩陣僅是方程（1）中的系數矩陣，類似的計算說明，任何線性方程組，或類似于（2）式的向量方程，可以寫成等價的形式為 的矩陣方程，這一簡單的觀點将在本書中重複使用.
下面是正式的結果.
定理3 若 a是m*n 矩陣，它的各列為
，而b 屬于
，則矩陣方程
（4）
與向量方程
（5）
有相同的解集. 它又與增廣矩陣為
（6）
的線性方程組有相同的解集.
定理3給出了研究線性代數問題的一個有力工具，使我們現在可将線性方程組用三種不同但彼此等價的觀點來研究：作為矩陣方程、作為向量方程或作為線性方程組，當我們構造實際生活中某個問題的數學模型時，我們可自由地選擇任何一種最自然的觀點. 于是我們可在友善的時候由一種觀點轉向另一種觀點. 任何情況下，矩陣方程、向量方程以及線性方程組都用相同方法來解——即用行化簡算法來化簡增廣矩陣（6）. 其他解法将在以後讨論.
解的存在性
ax的定義直接導緻下列有用的事實.
方程
有解當且僅當 b是a 的各列的線性組合.
在1.3節中，我們考慮了存在性問題，“b 是否屬于
”等價地，“
是否相容？”一個更困難的問題是要确定方程
對任意的 b是否有解.
例3 設 . 方程
.
是否對一切可能的
有解？
的增廣矩陣行化簡，
增廣列的第3個元素為
，方程
并不是對一切的b 都有解，因
可能不為零.
例3中的簡化矩陣描述了使
有解的所有b 的集合； b必須滿足
這是
中一個通過原點的平面，這個平面就是a 的3列的所有線性組合的集合，見圖1-19.
例3中的方程
并非對所有的b 都相容，這是因為 a的階梯形含有零行. 假如 a在所有三行都有主元，我們就不必注意增廣列的計算，因為這時增廣矩陣的階梯形狀不可能産生如
的行.
在下一定理中，當我們說 a的列生成
時，意思是說
中的每個向量 b都是a 的列的線性組合. 一般地，
中向量集
生成
，意思是說，
中的每個向量都是
的線性組合，即
定理4 設 a是m*n 矩陣，則下列命題是邏輯上等價的，也就是說，對某個a ，它們都成立或者都不成立.
對
中每個 b，方程
有解.
中的每個b 都是 a的列的一個線性組合.
a的各列生成
a在每一行都有一個主元位置.
定理4是本章中最有用的定理之一. 命題（a）、（b）和（c）等價是根據ax 的定義和一組向量生成
空間的含意而得到的. 再根據例3後面的讨論得到命題（a）和（d）等價. 定理完整的證明在本節末尾中給出. 在習題中給出應用定理4的例子.
警告 定理4讨論的是系數矩陣，而非增廣矩陣，若增廣矩陣 [a b]在每一行都有主元位置，方程
可能相容，也可能不相容.
ax的計算
例1中的計算是根據矩陣a 與向量x 的乘積的定義. 下面的例子給出手工計算ax 的元素的一種更有效的方法.
例4 計算ax ，其中
解 由定義
矩陣 ax的第一個元素是a 的第一行與 x中相應元素乘積之和（有時稱為點積），即
此矩陣說明，如何直接計算 ax中的第一個元素，而不必像（7）中那樣寫出所有運算步驟. 類似地， ax中的第二個元素可以直接把 a的第二行各元素與 x中對應元素相乘再求和得出：
類似地， ax中第3個元素可由 a的第3行與 x的元素算出.
計算 ax的行——向量規則
若乘積ax 有定義，則ax 中的第 i個元素是a 的第 i行元素與x 的相應元素乘積之和.
例5
例5（c）中的矩陣，主對角線上元素為1，其他位置上元素為0，這個矩陣稱為機關矩陣，并記為 . （c）中的計算說明，對任意
中的x ，ix=x . 類似地，有 n*n機關矩陣，有時記為
，如（c）中所示，對任意
中的 x，
矩陣-向量積 ax的性質
下面定理中的事實是重要的，在本書裡經常使用，它們的證明依賴于ax 的定義及
的代數性質.
定理5 若a 是m*n 矩陣，u 和v 是
中向量， c是标量，則
證 為簡單起見，取n=3 ，
為
中的向量（一般情況的證明類似），對i=1,2,3 ，設
和
分别為u 和v 的第i 個元素. 為證明（a），把a(u+v) 作為a的各列的以u+v 的元素為權的線性組合來計算.
為證明（b），把 a(cu)作為a 的各列以cu 的各元素作為權的線性組合來計算.
數值計算的注解 為使計算ax 的計算機算法最優化，一系列的計算對存儲在相連的存儲單元中的資料進行. 矩陣計算中最廣泛運用的算法是用fortran語言寫成的，它把矩陣作為若幹列來存儲，這樣的算法把ax作為a的列的線性組合來計算. 對比而言，若程式用通用的c語言來寫，它把矩陣按行存儲， 就必須用另一種規則計算，這種算法使用a的行.
定理4的證明 如定理4後面所指出的，命題（a）、（b）和（c）邏輯上等價，是以，這裡隻需證明（對任意矩陣 a）命題（a）和（d）同時為真，或同時為假，就可以建立四個命題的等價性.
設 u為 a的階梯形. 給定
中的b ，我們可把增廣矩陣[a b] 行化簡為增廣矩陣 [u d]，這裡d 是
中的某個向量.
若（d）成立， u的每一行包含一個主元位置而在增廣列中不可能有主元. 故對任意 b，
有解，故（a）成立. 若（d）不成立， u的最後一行都是0，設 d是最後一個元素為1的向量，于是[u d] 代表一個不相容的方程組，因行變換是可逆的，[u d] 可變換為形如[a b]的矩陣，所得方程組
也是不相容的，故（a）也不成立.
練習題
設
，可以證明p 是
的一個解. 應用這個事實把 b表示為 a的列的線性組合.
，計算 a(u+v)和au+av 來驗證定理5（a）.