導讀
與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想曆經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想隻有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大衆知名度更高的猜想。黎曼猜想是當今數學界最重要、最期待解決的數學難題。
黎曼（1826-1866）是曆史上最具想象力的數學家之一
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2000年5月24日，美國克雷數學研究所在法國巴黎召開了一次數學會議。在會議上，與會者們列出了七個數學難題，并作出了一個頗具轟動性的決定：為每個難題設立一百萬美元的巨額獎金。距此次會議一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次數學會議上，一位名叫希爾伯特的德國數學大師也列出了一系列數學難題。那些難題一分錢的獎金都沒有，但對後世的數學發展産生了深遠影響。這兩次遠隔一個世紀遙相呼應的數學會議除了都在巴黎召開外，還有一個相同的地方，那就是在所列舉的問題之中，有一個且隻有一個難題是共同的。
那個難題就是“黎曼猜想”。
黎曼猜想顧名思義，是由一位名叫黎曼的數學家提出的，這位數學家于1826年出生在一座如今屬于德國，當時屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院送出了一篇題為“論小于給定數值的素數個數”的論文。這篇隻有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。
黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。素數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有着極大的重要性，因為所有大于1的正整數都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數論中的地位類似于實體世界中用以構築萬物的原子。素數的定義簡單得可以在中學甚至國小課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。
黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了素數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數之中——尤其是，使那個函數取值為零的一系列特殊的點對素數分布的細緻規律有着決定性的影響。那個函數如今被稱為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點(下文中有時将簡稱其為零點)。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。
在希爾伯特難題中，黎曼猜想排在第8個
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黎曼為什麼要把那麼多并非顯而易見的證明從略呢？也許是因為它們對于他來說确實是顯而易見的，也許是因為不想花太多的時間來撰寫文章。但有一點基本可以确定，那就是他的“證明從略”絕非類似于調皮學生蒙混考試的做法，而且很可能也并非是把錯誤證明當成正确的盲目樂觀——後者在數學史上不乏先例，比如法國數學家費爾馬在寫下費爾馬猜想時所表示的“我發現了一個真正出色的證明，可惜頁邊太窄寫不下來”就基本已被數學界認定是把錯誤證明當成正确的盲目樂觀。因為人們後來從黎曼的手稿中發現他對許多從略了的證明是做過紮實研究的，而且那些研究的水準之高，甚至在時隔了幾十年之後才被整理出來，也往往仍具有極大的領先性。
但黎曼的論文在為數不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個他明确承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。
那麼，黎曼猜想究竟是一個什麼猜想呢？簡單地說，是一個關于我們前面提到的，對素數分布的細緻規律有着決定性影響的黎曼ζ函數的非平凡零點的猜想。關于那些非平凡零點，容易證明的結果隻有一個，那就是它們都分布在一個帶狀區域上，但黎曼認為它們的分布要比這個容易證明的結果齊整得多，他猜測它們全都位于該帶狀區域正中央的一條直線上，這就是所謂的黎曼猜想。而這條被猜測為包含黎曼ζ函數所有非平凡零點的直線則被稱為臨界線。
黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了一百五十多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。
當然，如果僅從時間上比較的話，黎曼猜想的這個紀錄跟費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想曆經兩個半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。但黎曼猜想在數學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大衆知名度更高的猜想。有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分将成為陪葬。一個數學猜想與為數如此衆多的數學命題有着密切關聯，這是極為罕有的。
黎曼論文手稿
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不過，數學家們攀登黎曼猜想這座巍峨山峰的努力雖然迄今沒能取得完全成功，在這過程中卻也獲得了一些階段性成果，好比是紮下了幾座營寨。
這其中第一個階段性成果出現在黎曼猜想問世三十七年後的1896年。我們在前面提到過，關于黎曼ζ函數的非平凡零點，容易證明的結果隻有一個，那就是它們都分布在一個帶狀區域上。那個階段性成果是什麼呢？就是将那個帶狀區域的邊界剔除掉了——也就是說，黎曼ζ函數的非平凡零點隻分布在帶狀區域的内部，不包括邊界。這個成果是由法國數學家哈達瑪與比利時數學家普森彼此獨立地給出的。
粗看起來，這似乎是很微不足道的成果，一個帶狀區域的邊界跟它的内部相比，從面積上講比例實際上是零。但是别小看了這個成果，它對于研究黎曼猜想來說隻是一小步，對于研究另一個數學猜想來說卻是巨大的飛躍，因為它直接導緻了後者的證明。那個數學猜想如今已被稱為素數定理，它所描述的是素數的大範圍分布規律。素數定理自被提出以來懸而未決已超過一百年，在當時乃是一個比黎曼猜想更令數學界期待的東西。
在上述成果之後又隔了十八年，1914年，丹麥數學家玻爾與德國數學家蘭道取得了另一個階段性成果，那就是證明了黎曼ζ函數的非平凡零點傾向于“緊密團結”在臨界線的周圍。這個結果用數學語言來說，就是包含臨界線的無論多麼窄的帶狀區域都包含了黎曼ζ函數的幾乎所有非平凡零點。不過“緊密團結”歸“緊密團結”，這一結果卻不足以證明任何一個零點恰好就在臨界線上，是以它距離黎曼猜想的要求仍然相差很遠。
但就在那同一年，另一個階段性成果出現了：英國數學家哈代終于将“紅旗”插上了臨界線——他證明了黎曼ζ函數有無窮多個非平凡零點位于臨界線上。粗看起來，這似乎是一個非同小可的結果，因為黎曼ζ函數的非平凡零點總共就是無窮多個，而哈代已經證明了無窮多個零點位于臨界線上，從字面上看，兩者簡直一模一樣了。可惜無窮大是數學中一個很微妙的概念，同樣是無窮大，彼此卻未必是一回事，不僅未必是一回事，簡直可以要差多遠就差多遠，甚至差無窮遠！是以，為了知道哈代的結果離黎曼猜想的要求還有多遠，我們需要更具體的結果。
那樣的具體結果出現在七年後的1921年。那一年，哈代與英國數學家李特伍德合作，對自己七年前那個結果中的“無窮多”做出了具體估計。那麼，按照這個具體的估計，那位于臨界線上的“無窮多個非平凡零點”跟全部非平凡零點相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮喪得出乎讀者們的意料：百分之零！
數學家們将這個百分比推進到一個大于零的數字是在二十一年後的1942年。那一年，挪威數學家賽爾伯格證明了這個百分比大于零。
賽爾伯格做出這項成果時正值第二次世界大戰的硝煙在歐洲各地彌漫，他所在的挪威奧斯陸大學幾乎成了一座孤島，連數學期刊都無法送達。但賽爾伯格不在乎，他表示“這就像處在一座監獄裡，你與世隔絕了，但你顯然有機會把注意力集中在自己的想法上，而不會因其他人的所作所為而分心，從這個意義上講我覺得那種情形對于我的研究來說有許多有利的方面”。他很好地利用了那“許多有利的方面”，孤獨地進行着“一個人的戰鬥”，并最終取得了成果，他的成果是如此顯著，以至于玻爾在戰後曾戲說戰時整個歐洲的數學新聞可以歸結為一個詞，那就是：賽爾伯格。
不過賽爾伯格雖然證明了那個百分比大于零，卻并沒有在論文中給出具體值。在賽爾伯格之後，數學家們開始這一比例的具體數值進行研究，其中以美國數學家列文森的成果最為顯著，他證明了至少有34%的零點位于臨界線上。
列文森取得這一成果是在1974年，那時他已年過花甲，并且行将走到生命的盡頭(他第二年就去世了)，卻依然頑強地從事着數學研究。在列文森之後，這方面的推進變得十分緩慢，幾位數學家費盡九牛二虎之力也隻能在百分比的第二位數字上做文章，其中包括中國數學家樓世拓與姚琦(他們于1980年證明了至少有35%的零點位于臨界線上)。直到1989年，才有人撼動百分比的第一位數字：美國數學家康瑞(brian con-rey)證明了至少有40%的零點位于臨界線上。這也是這方面——并且也是整個黎曼猜想研究中——目前最強的結果。
另外值得一提的是，“黎曼猜想”這一金字招牌後來被推而廣之，用來表示一些“山寨版”和“豪華版”的猜想。那些猜想為什麼能跟黎曼猜想共享招牌呢？那是因為它們跟黎曼猜想有極大的相似性，比如都有一個跟黎曼ζ函數相類似的函數，那個函數具有與黎曼ζ函數相類似的性質，等等。在那些猜想中，“豪華版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更強(即把黎曼猜想包含為特例)的猜想，它們跟黎曼猜想一樣，迄今尚未得到證明(這是顯然的，否則的話黎曼猜想也就被證明了)。但“山寨版”黎曼猜想卻已全部得到了證明。
撇開我們所取的不中聽的綽号不論，它們的證明乃是數學上的重大成果，既催生過新數學方法的誕生，也為證明者摘取過數學界的最高獎——菲爾茨獎。而且，“山寨版”黎曼猜想作為唯一挂着黎曼猜想這一金字招牌卻被證明了的猜想，曾使人們對久攻不下的黎曼猜想也一度樂觀起來。可惜他山之石，并不總是可以攻玉的。從目前的情況來看，“山寨版”黎曼猜想就能在“山寨”裡玩，它們的證明雖然重要，對于解決真正的黎曼猜想卻并無實質性的啟示。
刻有碑文的黎曼墓碑
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也許在很多人眼裡，數學是一門很枯燥的學問，數學家們則是一群性格乏味的怪人。但實際上，富有智慧的人往往是不會真正乏味的，數學家們也是如此，他們在埋頭演算的勤懇之外，也給我們留下了許多獨特的幽默。
匈牙利數學家波利亞曾經講過一個跟黎曼猜想有關的小故事，故事的主角就是我們前面提到過的英國數學家哈代與丹麥數學家玻爾。這兩位在黎曼猜想研究中做出過成果的數學家當然都對黎曼猜想懷有濃厚興趣。
有一段時間，哈代常常利用假期通路玻爾，一起讨論黎曼猜想，直到假期将盡才匆匆趕回英國。結果有一次，當哈代又必須匆匆趕回英國時，很不幸地發現碼頭上隻剩下一條小船可以乘坐了。從丹麥到英國要跨越幾百公裡寬的北海，在汪洋大海中乘坐小船可不是鬧着玩的事情，弄不好就得葬身魚腹。為了旅途的平安，信奉上帝的乘客們大都忙着祈求上帝的保佑。哈代卻是一個堅決不信上帝的人，非但不信，甚至還蓄意跟上帝作對：把向大衆證明上帝不存在列入自己某一年的年度心願之一。不過在生死攸關的旅程面前哈代也沒閑着，他給玻爾發去了一張簡短的明信片，上面隻寫了一句話：“我已經證明了黎曼猜想”。
哈代果真證明了黎曼猜想嗎？當然不是。他為什麼要發這麼一張忽悠同僚的明信片呢？當他平安抵達英國後他向玻爾解釋了原因。他說如果那次他所乘坐的小船果真沉沒了的話，那句話就會變得死無對證，人們就隻好相信他确實證明了黎曼猜想。可是他知道上帝是絕不會甘心讓他這樣一個堅決不信上帝的人獲得如此巨大的榮譽的，是以它一定不會讓小船沉沒的。
哈代用自己的幽默成為了故事主角，有些數學家則是因為其他數學家的幽默而被動地成為了故事主角，我們前面提到過的法國數學家哈達瑪與比利時數學家普森就是如此。這兩人成為主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因為他們的長壽：哈達瑪享年98歲，普森活到96歲。這兩個令人眼紅的歲數不知從何時開始引發了一個傳說，那就是誰要是能證明黎曼猜想，他就能不朽——不是抽象意義上的不朽(那是毫無疑問的)，而是實際意義上的不朽(即長生不老)！不過這個傳說看來是沒有關懷到玻爾和蘭道，他們的研究成果可比哈達瑪和普森的強多了，照說起碼也該混個百歲老人當當吧。結果呢？蘭道隻活了61歲，玻爾稍勝一籌，也隻有63歲。
可能是意識到這個傳說漏洞太大，數學家們又把幽默指向了另一個方向：出生于波蘭的數學家歐德裡茲科提出了一個完全相反的說法，那就是：誰要是否證了黎曼猜想，他就會立刻死去！歐德裡茲科甚至開玩笑說其實黎曼猜想已經被否證了，隻不過那個否證了黎曼猜想的倒黴蛋沒來得及發表文章就死去了。
當然，這些都隻能作為飯後茶餘的談資而不宜較真。不過，一個極度艱深的東西對投入得過深的人産生健康方面的影響，倒是不無可能的。數學界也确實有人猜測，黎曼猜想的極度艱深有可能對個别數學家的健康産生過影響。比如流行傳記《美麗心靈》的主角、美國數學家納什曾在二十世紀五十年代後期研究過黎曼猜想，在那之後不久就患上了精神分裂症。納什患病的原因一般認為是參與軍方工作所引緻的心理壓力，但也有人認為他貿然去啃黎曼猜想那樣的堅果，對他的病症發展有可能起到過推波助瀾的作用。
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黎曼猜想可以說是當今數學界最重要、并且是數學家們最期待解決的數學猜想。美國數學家蒙哥馬利曾經表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的将會是黎曼猜想的證明。
在探索黎曼猜想的過程中，很多數學家曾經滿懷信心，漸漸地卻被它的艱深所震動，态度轉為了悲觀。我們前面提到過的李特伍德就是一個例子，當他還是學生的時候，他的導師就随手把黎曼ζ函數寫給了他，讓他利用暑假時間研究它的零點位置。初出茅廬的李特伍德也不當回事地領命而去。後來他與哈代倒也果真在這方面做出了成果。但漸漸地，他的态度發生了變化，甚至表示：“假如我們能夠堅定地相信這個猜想是錯誤的，日子會過得更舒适些”。
曾經在“山寨版”黎曼猜想研究上做出過成果的法國數學家韋伊也有過類似的态度轉變。當他在“山寨版”黎曼猜想研究上做出成果時，曾像一些其他人一樣對解決黎曼猜想燃起了信心，表示如果自己證明了黎曼猜想，會故意推遲到猜想提出100周年(即1959年)時才公布——言下之意，自己不遲于1959年就有可能解決黎曼猜想。不過，歲月漸漸磨去了他的樂觀，他晚年時曾對一位友人承認，自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解決。
就連本文開頭提到的那位德國數學大師希爾伯特，他對黎曼猜想的看法也經曆了從樂觀到悲觀的轉變。在1919年的一次演講中，希爾伯特曾表示自己有望見到黎曼猜想的解決，但後來他的态度顯著地轉為了悲觀。據說有人曾經問他：如果他能在五百年後重返人間，他最想問的問題是什麼？他回答說最想問的就是：是否已經有人解決了黎曼猜想？
原文釋出時間為：2016-01-10
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