微積分重點 第一課至第四課

1.微積分是關于兩個函數間關系的學問

 例如， 距離與速度的關系  f(t)  --- df/dt

          高度與斜率的關系  y(x)  ---- dy/dx

函數1--->函數2:   求斜率

函數2--->函數1:   求面積，乘以自變量

兩條曲線不同，但是包含了相同的資訊

函數2表示了函數1在某一瞬間的變化率

2.導數的總覽和計算

 三個重要的基本函數：幂函數 三角函數 指數函數

求導過程： Δy/Δx 無限逼近取極限 就得到了 dy/dx

sinx 在零點處斜率逼近1, 在pi/2處斜率為零， 正好符合cosx

3.二階導數

  二階導數表明函數向上彎曲(凸)還是向下彎曲（凹） bending up or bending down

 正值 凸  負值 凹

駐點（極值點）：暫時不再上升，也不下降 是以一階導數為零。二階導數正 則是極小值 反之是極大值

拐點:彎曲方向發生變化的點，二階導數為零

求最值的應用：求出是以極值點和邊界值 （對二階導，隻需要知道符号，不需要計算值）

3.指數函數

  指數函數是通過微積分構造出來的函數

  給出微分方程 dy/dx =y ,和初始條件 y=1|x=0,得到y=ex

  ex 的構造過程：  從y = 1 開始，dy/dx

也要等于1,是以y要加上x,然後dy/dx也加上x，依次類推

 得到展開式 ∑(1/n!)xn

 （第二重要的級數，最重要的級數：幾何級數）

 由于階乘的增長速度遠遠超過指數，是以最後趨向于極限

  當x等于1時，就可以計算出e的值

  銀行存款的複利

 把一年的利率分為n份，無限細分 得到  （1+1/n）n當n趨向無窮時，得到e