赫爾曼·克勞斯·雨果·韋爾

出生 1885 年 11 月 9 日，德國石勒蘇益格-荷爾斯泰因州埃爾姆斯霍恩（漢堡附近）

逝世 1955 年 12 月 8 日，瑞士蘇黎世

從1923年到38 年， weyl使用矩陣表示發展了連續群的概念。通過将群論應用于量子力學，他建立了現代學科。

hermann weyl被他的密友稱為彼得。他的父母是安娜·迪克 (anna dieck) 和路德維希·韋爾 (ludwig weyl)，後者是一家銀行的董事。赫爾曼在孩提時代就已經表現出他在數學和更廣泛的科學方面的天賦。在參加了他的 abiturarbeit （高中畢業考試） （見[ 17 ]）後，他為大學學習做好了準備。在1904他進入了慕尼黑，在那裡他承擔了數學和實體課程的大學，然後繼續在哥廷根大學學習相同的主題。他完全被希爾伯特迷住了。他後來寫道：-

我決心研究這個人寫的任何東西。第一年結束時，我帶着“zahlbericht”回家，在暑假期間，我努力完成了它——之前沒有任何初等數論或伽羅瓦理論的知識。這是我生命中最快樂的幾個月，在我們共同的懷疑和失敗的歲月中，它的光芒仍然安慰我的靈魂。

他的博士學位來自哥廷根，他的導師是希爾伯特。送出博士論文後singuläre integralgleichungen mit besonder berücksichtigung des fourierschen integraltheorems Ⓣ 他于1908 年獲得學位。本論文研究了奇異積分方程，深入研究了傅立葉積分定理。正是在哥廷根，他舉行了他的第一個教學崗位作為privatdozent，他擔任直到後1913年。他的資格論文Über gewöhnliche differentialgleicklungen mit singularitäten und die zugehörigen entwicklungen willkürlicher funktionen Ⓣ 研究了奇異sturm - liouville問題的譜理論。在哥廷根期間，外爾以傑出的數學家而著稱，他的工作對數學的進步産生了重大影響。他的适應能力論文就是這樣的一項工作，但還有更多。他發表了演講課程黎曼面在會議1911年的- 12個進出本課程的來到他的第一本書 模具衣蝶德riemannschenfläche Ⓣ1913 年出版。它将分析、幾何和拓撲結合起來，使得黎曼發展的幾何函數理論變得嚴謹。這本書首次介紹了[ 59 ]的概念：-

... 二維可微流形，一個覆寫面，以及微分和1循環之間的對偶性。... weyl 的空間概念還包括後來引入并普遍歸功于felix hausdorff (1914)的著名分離特性。

l sario 在1956 年寫道weyl 1913 年的文字：-

... 無疑對幾何函數理論的發展産生了比黎曼博士論文以來任何其他出版物更大的影響。

值得注意的是，這本1913 年的文本在1997年被重印。外爾本人後來制作了兩個版本，這些版本中的第三個（也是最後一個）出現在1955 年，涵蓋了與原始文本相同的主題，但采用了更現代的處理方式。這是原1913年版，不過，這是轉載于1997年出可能比後來的版本原來是多麼顯著更充分的1913年文本在數學的發展。

作為哥廷根大學的一名私人學者，外爾受到了埃德蒙·胡塞爾的影響，胡塞爾從1901 年到1916年在那裡擔任哲學主席. 1913 年，外爾與胡塞爾的學生海倫·約瑟夫結婚；他們有兩個兒子。來自猶太背景的海倫是一位哲學家，正在擔任西班牙語翻譯。外爾和他的妻子不僅對哲學有着共同的興趣，而且在語言方面也有着真正的天賦。外爾的語言特别重要。他不僅用德語寫得很漂亮，而且後來他寫了令人驚歎的英語散文，盡管用他自己的話從1939 年的英文文本：

......衆神将一種外語的枷鎖強加給我的寫作，而這種外語不是在我的搖籃裡唱出來的。

從1913 年到1930 年，外爾在蘇黎世理工學院擔任數學系主任。在他擔任這個新職位的第一個學年，他是愛因斯坦的同僚，當時他正在研究廣義相對論的細節。這是一個對 weyl 影響很大的事件，weyl 很快就對理論背後的數學原理着迷了。

外爾在蘇黎世擔任主席後不久，第一次世界大戰爆發了。作為一名德國公民，他于1915 年被征召入伍，但瑞士政府提出了一項特殊要求，允許他傳回蘇黎世，并于1916年獲得準許。在1917年weyl 開設了另一門課程，介紹了通過微分幾何研究相對論的創新方法。這些講座構成了 weyl 的第二本書raum-zeit-materie 的基礎 Ⓣ 首次出現于1918年，并在1919 年、1920年和1923年有更多版本，每個版本都展示了他的想法是如何發展的。這些後來的想法包括導緻規範場理論的規範度量（外爾度量）。然而愛因斯坦、泡利、愛丁頓等人并沒有完全接受外爾的方法。在此期間，外爾還對模1數的均勻分布做出了貢獻，這是解析數論中的基礎。

在1921年 薛定谔被任命到蘇黎世，在那裡他成為了 weyl 的同僚，而且很快成為了最親密的朋友。他們在數學、實體和哲學方面有着共同的興趣。正如摩爾在[ 5 ] 中所說，他們的個人生活也變得糾纏不清：-

那些熟悉普林斯頓大學外爾嚴肅而豐滿身材的人幾乎認不出這個身材苗條、英俊的二十多歲的年輕人，留着浪漫的黑色小胡子。他的妻子海倫·約瑟夫（helene joseph）有猶太背景，是一位哲學家和文學家。她的朋友們稱她為海拉，某種大膽和漫不經心的性格使她成為由科學家及其妻子組成的社會群體中無可争議的上司者。安妮[薛定谔的妻子]幾乎與時尚而知性的海拉完全相反，但也許正是因為這個原因[外爾]發現她很有趣，不久她就瘋狂地愛上了他。……他們在蘇黎世生活的特殊圈子在[美國]之前就已經享受了性革命。婚外情不僅得到寬恕，而且在意料之中，而且似乎很少引起焦慮。安妮會在赫爾曼·外爾身上找到一個她全身心投入的情人，而外爾的妻子海拉則迷戀于保羅·謝勒。

從1923年到38 年， weyl使用矩陣表示發展了連續群的概念。特别是他的理論表示半單組，在開發1924年- 26，非常深，由外爾本人認為是他最大的成就。赫維茨和舒爾已經介紹了這一理論背後的思想，但正是外爾提出了他的一般性格公式。然而，他并不是唯一一位發展這一理論的數學家，因為嘉當也對這一具有重要意義的主題進行了研究。

從1930 年到1933 年，外爾在哥廷根擔任數學系主任，在那裡他被任命填補希爾伯特退休後出現的空缺。鑒于不同的政治環境，他很可能會在哥廷根度過餘生。然而[ 8 ] :-

……納粹的崛起說服他在1933 年接受了新成立的普林斯頓高等研究院的職位，愛因斯坦也去了那裡。在這裡，外爾找到了一個非常融洽的工作環境，在那裡他能夠指導和影響年輕一代的數學家，這是他非常适合的任務。

人們還必須了解，weyl 的妻子是猶太人，這在他們1933 年決定離開德國的過程中肯定起了重要作用。外爾一直留在普林斯頓高等研究院直到1952 年退休。他的妻子 helene 于1948 年去世，兩年後他與來自蘇黎世的雕塑家 ellen lohnstein bär 結婚。

外爾當然在普林斯頓承擔了重要的工作，但他最富有成效的時期無疑是他在蘇黎世度過的那幾年。他試圖将電磁學納入廣義相對論的幾何形式。他提出了第一個統一場論，麥克斯韋電磁場和引力場作為時空的幾何屬性出現。通過将群論應用于量子力學，他建立了現代學科。1927 - 28 年他在蘇黎世講授群論和量子力學，這導緻了他的第三本主要著作 gruppentheorie und quantenmechanik Ⓣ1928 年 出版。約翰惠勒寫道[ 56 ] :-

每次我閱讀那本書時，都會有一些很棒的新資訊。

最近，惠勒試圖将電磁學納入廣義相對論。惠勒的理論與外爾的理論一樣，缺乏與量子現象的聯系，而量子現象對于引力以外的互相作用非常重要。wheeler 在[ 56 ] 中寫到了第一次見到 weyl 的事：-

1937 年帶我去普林斯頓時，我第一次看到赫爾曼·外爾的肉體直立、眼睛明亮、面帶微笑。在那裡，我參加了他關于微分形式的Élie cartan微積分及其在電磁學中的應用的講座——雄辯、簡單、富有洞察力。

我們已經在上面看到了 weyl 的偉大作品是如何首先作為講座課程提供的。這是 weyl [ 56 ]的故意設計：-

有一次，外爾安排在普林斯頓大學開設一門關于數學史的課程。有一天，他向我解釋說，對他來說，絕對有必要通過演講來全面審視他所關注的主題。他說，隻有這樣，他才能看到巨大的空白，需要更深入了解的地方，工作應該集中的地方。

外爾在普林斯頓大學期間還出版了許多其他偉大的著作。其中包括不變量的基本理論 (1935)、經典群 (1939)、數代數理論 (1940)、數學與自然科學哲學 (1949)、對稱性 (1952)和黎曼曲面的概念 (1955) . 關于所有這些作品，可以說的太多了，但我們僅限于檢視symmetry的内容， 因為這可能最能告訴我們 weyl 的全部興趣。考斯特 評論了這本書，他的評論精美地捕捉了這本書的精神：-

這是1951 年在普林斯頓大學舉辦的 louis clark vanuxem lectures 的略微修改版本... 第一堂課首先展示了雙邊對稱的思想是如何影響繪畫和雕塑的，尤其是在古代。這自然會導緻“左右哲學”的讨論，包括以下問題。自然界中是否存在活物質特有的光學活性物質的兩種對映體形式之一？在胚胎發育的哪個階段确定對稱平面？第二講包含對變換群理論的簡潔闡述，特别強調相似群及其子群：全等變換群、運動群、平移群、旋轉群，最後是任何給定的對稱群數字。... 循環和二面體組由雪花和花朵、稱為美杜莎的動物以及對稱建築的平面圖來說明。類似地，鹦鹉螺殼和向日葵中的小花排列說明了由螺旋相似性産生的無限循環群。第三講給出了列舉二維晶體學的 17 個空間群的基本步驟......[在第四講中他]展示了狹義相對論本質上是如何研究四維時空連續體的内在對稱性，其中對稱性運算是洛倫茲變換；以及根據量子力學，原子的對稱操作如何包括其外圍電子的排列。從實體學轉向數學，他給出了伽羅瓦理論的一個非常簡潔的縮影，引出了他的指導原則的陳述：“無論何時你必須處理一個賦予結構的實體，試着确定它的自同構群”。

在1951年魏爾從高等研究院在普林斯頓大學退休。事實上，他将對稱 書描述為他的“絕唱”。退休後，weyl 和他的妻子 ellen 部分時間在普林斯頓度過，部分時間在蘇黎世度過。他在蘇黎世時意外去世。他向那些在他七十歲生日時祝他好運的人發了感謝信，然後走回家。

我們必須稍微談談 weyl 工作的另一個方面，我們還沒有真正提到過，即他在數學哲學和數學基礎方面的工作。有趣的是，我們引用的大量參考文獻涉及他工作的這一方面，其重要性不僅在于工作本身，而且在于 weyl 關于這些主題的想法在多大程度上是他的數學和其他部分的基礎。實體貢獻。外爾的觀點深受胡塞爾的影響，也與布勞威爾有很多共同的想法。兩者都認為康托爾的集合論連續統不能準确地表示直覺連續統。惠勒[ 56 ]寫道：-

連續統……，外爾告訴我們，是一種幻覺。這是一種理想化。這是一個夢想。

外爾總結了他對數學的态度，寫道：-

我自己的數學作品總是很不系統，沒有模式，沒有聯系。表達和形狀對我來說幾乎比知識本身更重要。但我相信，撇開我自己的特殊性不談，與實驗學科相比，數學本身具有更接近于自由創作藝術的特征。

他經常引用的評論：-

我的作品總是試圖将真與美結合起來，但是當我不得不選擇其中之一時，我通常會選擇美......

雖然半開玩笑，總結了他的個性。