研究以下多項式乘法:
可以看出:
x2項的系數a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的項包括n個元素a1,a2,
…an中取兩個組合的全體;
同理:x3項系數包含了從n個元素a1,a2,
…an中取3個元素組合的全體;
以此類推。
特例:
若令a1=a2=
…=an=1,在(8-1)式中a1a2+a1a3+...+an-1an項系數中每一個組合有1個貢獻,其他各項以此類推。故有:
母函數定義:
對于序列a0,a1,a2,…構造一函數:
n稱函數g(x)是序列a0,a1,a2,…的母函數
執行個體分析
例1:若有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚,能稱出哪幾種重量?各有幾種可能方案?
如何解決這個問題呢?考慮構造母函數。
如果用x的指數表示稱出的重量,則:
1個1克的砝碼可以用函數1+x表示,
1個2克的砝碼可以用函數1+x2表示,
1個3克的砝碼可以用函數1+x3表示,
1個4克的砝碼可以用函數1+x4表示,
幾種砝碼的組合可以稱重的情況,可以用以上幾個函數的乘積表示:
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10
從上面的函數知道:可稱出從1克到10克,系數便是方案數。
例如右端有2x5項,即稱出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同樣,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。
故稱出6克的方案有2,稱出10克的方案有1
//母函數模闆
//形如(1+x^1+x^2+x^3+....+x^n)*(1+x^2+x^4+x^6+....+x^n)*......(1+x^m+x^2m+x^3m+....+x^n)