更相損減法和輾轉相除法 求最大公約數和最小公倍數（C語言）

假設有兩個數a和b，求a,b的最大公約數和最小公倍數實際上是一個問題，得出這兩個數的最大公約數就可以算出它們的最小公倍數。

最小公倍數的公式是 a*b/m

m為最大公約數

因為

a=m*i; b=m*j;

最小公倍數為 m*i*j

那麼，下面就開始計算a和b的最大公約數。

更相損減法：

《九章算術·方田》作分數約簡時，提到求最大公因數方法：反覆把兩數的較大者減去較小者，直至兩數相等，這數就是最大公因數。這方法除了把除法換作減法外，與輾轉相除法完全相同。例如書中求91和49的最大公因數：

91 > 49, 91 - 49 = 42

49 > 42, 49 - 42 = 7

42 > 7, 42 - 7 = 35

35 > 7, 35 - 7 = 28

28 > 7, 28 - 7 = 21

21 > 7, 21 - 7 = 14

14 > 7, 14 - 7 = 7

7 = 7, 是以91和49的最大公因數是7

輾轉相除法：

輾轉相除法是利用以下性質來確定兩個正整數 a 和 b的最大公因數的：

若 r 是 a ÷ b 的餘數, 則

gcd(a,b) = gcd(b,r)

a 和其倍數之最大公因數為 a。

另一種寫法是：

a ÷ b，令r為所得餘數（0≤r＜b）

若 r = 0，演算法結束；b 即為答案。

互換：置 a←b，b←r，並傳回第一步。

這個算法可以用遞歸寫成如下:

　　function gcd(a, b) {

　　if a mod b<>0

　　return gcd(b, a mod b);

　　else

　　return a;

　　}

　　或純使用循環:

　　define r as integer;

　　while b ≠ 0 {

　　r := a mod b;

　　a := b;

　　b := r;

　　return a

　　其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的餘數。

c語言：

#include<stdio.h>

int gcd(int a,int b)//最大公約數

{

if (a<b) return gcd(b,a);

else if (b==0) return a;

else return gcd(b,a%b);

}

int lcm(int a,int b)

return a*b/gcd(a,b);

main()

int a,b;

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("最大公約數：%d\n",gcd(a,b));

printf("最小公倍數：%d\n",lcm(a,b));

輸入兩個正整數m和n, 求其最大公約數和最小公倍數. <1>用輾轉相除法求最大公約數 算法描述: m對n求餘為a, 若a不等于0 則 m <- n, n<- a, 繼續求餘 否則 n 為最大公約數<2> 最小公倍數 = 兩個數的積 / 最大公約數

#include int main()

int m, n; int m_cup, n_cup, res;

printf("enter two integer:\n");

scanf("%d %d", &m, &n);

if (m > 0 && n>0)

  {

    m_cup =m;

    n_cup =n;

    res = m_cup% n_cup;

    while (res!= 0)

     {

      m_cup = n_cup;

      n_cup = res;

      res = m_cup % n_cup;

     }

     printf("greatestcommon divisor: %d\n", n_cup);

     printf("leasecommon multiple : %d\n", m * n / n_cup);

   }

  else printf("error!\n");

  return 0;

關于輾轉相除法, 搜了一下, 在我國古代的《九章算術》中就有記載，現摘錄如下:約分術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法，實際上就是輾轉相除法。輾轉相除法求最大公約數，是一種比較好的方法，比較快。對于52317和75569兩個數，你能迅速地求出它們的最大公約數嗎？一般來說你會找一找公共的使因子，這題可麻煩了，不好找，質因子大。現在教你用輾轉相除法來求最大公約數。先用較大的75569除以52317，得商1，餘數23252，再以52317除以23252，得商2，餘數是5813，再用23252做被除數，5813做除數，正好除盡得商數4。這樣5813就是75569和52317的最大公約數。你要是用分解使因數的辦法，肯定找不到。那麼，這輾轉相除法為什麼能得到最大公約數呢？下面我就給大夥談談。比如說有要求a、b兩個整數的最大公約數，a＞b，那麼我們先用a除以b，得到商8，餘數r1：a÷b＝q1…r1我們當然也可以把上面這個式子改寫成乘法式：a＝bq1＋r1------l）如果r1＝0，那麼b就是a、b的最大公約數3。要是r1≠0，就繼續除，用b除以r1，我們也可以有和上面一樣的式子：b＝r1q2＋r2-------2）如果餘數r2＝0，那麼r1就是所求的最大公約數3。為什麼呢？因為如果2）式變成了b＝r1q2，那麼b1r1的公約數就一定是a1b的公約數。這是因為一個數能同時除盡b和r1，那麼由l）式，就一定能整除a，進而也是a1b的公約數。反過來，如果一個數d，能同時整除a1b，那麼由1）式，也一定能整除r1，進而也有d是b1r1的公約數。這樣，a和b的公約數與b和r1的公約數完全一樣，那麼這兩對的最大公約數也一定相同。那b1r1的最大公約數，在r1＝0時，不就是r1嗎？是以a和b的最大公約數也是r1了。有人會說，那r2不等于0怎麼辦？那當然是繼續往下做，用r1除以r2，……直到餘數為零為止。在這種方法裡，先做除數的，後一步就成了被除數，這就是輾轉相除法名字的來曆吧。