卡爾·西奧多·威廉·魏爾斯特拉斯

出生 1815 年 10 月 31 日，威斯特伐利亞（今德國）奧斯滕費爾德

逝世 1897 年 2 月 19 日 德國柏林

卡爾·西奧多·威廉·魏爾斯特拉斯

Karl Weierstrass以其通過幂級數建構複函數理論而聞名。

Karl Weierstrass的父親 Wilhelm Weierstrass 在 Karl 出生時擔任 Ostenfelde 市長的秘書。Wilhelm Weierstrass 是一位受過良好教育的人，對藝術和科學有着廣泛的了解。他當然有能力獲得比他更高的職位，這種态度可能是卡爾·魏爾斯特拉斯早期職業生涯遠低于他出色能力的原因之一。Weierstrass 的母親是 Theodora Vonderforst，Karl 是 Theodora 和 Wilhelm 的四個孩子中的老大，他們都沒有結婚。

威廉·魏爾斯特拉斯 (Wilhelm Weierstrass) 在卡爾八歲時成為一名稅務檢查員。這份工作讓他在任何一個地方都隻待了很短的時間，是以随着全家在普魯士四處走動，卡爾經常從學校搬到學校。卡爾的母親西奧多拉去世，一年後他的父親威廉再婚。到1829 年， Wilhelm Weierstrass 已成為帕德博恩主要稅務局的助理，卡爾進入了那裡的天主教體育館。盡管不得不兼職簿記員以幫助家庭财務，但魏爾斯特拉斯在體育館表現出色。

而在體育館，魏爾斯特拉斯的數學能力肯定遠遠超出了預期。他定期閱讀Crelle的日記，并為他的一位兄弟提供數學輔導。然而，魏爾斯特拉斯的父親希望他在1834 年從體育館畢業後學習金融學。之後，他進入了波昂大學，并為他計劃了一門課程，其中包括法律、金融和經濟學的學習。以他父親為他規劃的普魯士政府職業生涯，這确實是一門精心設計的課程。然而，魏爾斯特拉斯遭遇了要麼服從父親的意願，要麼學習他喜歡的學科，即數學的沖突。

維爾斯特拉斯内部發生沖突的結果是，他既沒有參加數學講座，也沒有參加他計劃課程的講座。他假裝不關心自己的學習來應對内心的沖突，他花了四年時間進行密集的擊劍和酗酒。正如 Biermann 在[ 1 ] 中所寫：-

……職責和傾向之間的沖突導緻身心緊張。他試圖通過參加無憂無慮的學生生活來克服他的問題，但徒勞無功……

他确實自學過數學，不過，他閱讀了拉普拉斯的《天體力學》 Ⓣ然後是Jacobi關于橢圓函數的工作。他通過學習古德曼的演講稿，了解了橢圓函數理論的必要方法。在将近50年後寫給Lie的一封信中，他解釋了他是如何在這個時候不顧父親的意願而做出學習數學的明确決定的（參見[ 1 ]）：-

... when I became aware of [a letter from Abel to Legendre] in Crelle's Journal during my student years, [it] was of the utmost importance. The immediate derivation of the form of the representation of the function given by Abel ..., from the differential equation defining this function, was the first mathematical task I set myself; and its fortunate solution made me determined to devote myself wholly to mathematics; I made this decision in my seventh semester ...

Weierstrass 已經決定成為一名數學家，但他仍然應該學習公共财政和管理課程。做出決定後，他又在波昂大學度過了一個學期，他的第八個學期于1838 年結束，由于他沒有參加考試就離開了大學，沒有學習他所注冊的科目。Weierstrass 的父親對他的兒子放棄學業感到非常沮喪。他被一位家庭朋友、帕德博恩法院院長說服，允許卡爾在明斯特神學和哲學學院學習，這樣他就可以參加必要的考試，成為一名中學教師。 1839

年5月22日Weierstrass 就讀于明斯特學院。古德曼在明斯特講學，這也是魏爾斯特拉斯如此熱衷于在那裡學習的原因。Weierstrass 參加了Gudermann關于橢圓函數的講座，這是關于這個主題的第一次講座，Gudermann強烈鼓勵 Weierstrass 進行數學研究。1839 年秋天離開明斯特，魏爾斯特拉斯為他在1840 年3 月注冊的教師考試而學習。然而此時，維爾斯特拉斯的父親又換了工作，于1840 年1 月成為一家鹽廠的主管。，這家人現在住在帕德博恩以西利珀河附近利普施塔特附近的韋斯特科滕。

應魏爾斯特拉斯的要求，他在1840年5 月收到的關于橢圓函數表示的論文中提出了一個問題，他提出了自己的重要研究作為答案。Gudermann評估了這篇論文并評價了 Weierstrass 的貢獻：-

......與被加冕為榮耀的發現者同等地位。

在晚年，當魏爾斯特拉斯得知古德曼的評論時，他說如果他知道的話他會發表他的結果。魏爾斯特拉斯還評論了古德曼對他的贊美是多麼慷慨，特别是因為他對古德曼的方法持高度批評态度。

到1841年 4月，魏爾斯特拉斯參加了必要的口試，他開始在明斯特體育館擔任教師為期一年的試用期。雖然此時他沒有發表任何數學論文，但他在1841 年和1842 年寫了三篇短論文，在[ 3 ] 中有描述：-

The concepts on which Weierstrass based his theory of functions of a complex variable in later years after 1857 are found explicitly in his unpublished works written in Münster from 1841 through 1842, while still under the influence of Gudermann. The transformation of his conception of an analytic function from a differentiable function to a function expansible into a convergent power series was made during this early period of Weierstrass's mathematical activity.

Weierstrass于1842 年在西普魯士（現為波蘭）的Deutsch Krone 的 Pro-Gymnasium 開始了他的數學教師職業生涯，在那裡他一直待到1848 年搬到 Braunsberg 的 Collegium Hoseanum 。作為數學老師，他還需要教授其他科目，而維爾斯特拉斯教授實體、植物學、地理、曆史、德語、書法甚至體操。在晚年，魏爾斯特拉斯描述了這些悲慘歲月的“無休止的沉悶和無聊”，其中[ 1 ] :-

......他既沒有數學讨論的同僚，也沒有數學圖書館，而且科學信件的交流是他負擔不起的奢侈品。

從1850年左右開始，魏爾斯特拉斯開始出現非常嚴重的頭暈，并在大約一個小時後以劇烈的疾病結束。12年左右的頻繁發作，使他難以工作，人們認為這些問題很可能是由于他在學生時代遭受的心理沖突，以及每一次都投入到數學中的壓力造成的。在從事繁重的教學工作時，他可以騰出一分鐘的空閑時間。

毫不奇怪，當 Weierstrass在 Braunsberg 學校的招股說明書中發表關于阿貝爾函數的論文時，他們沒有被數學家注意到。然而，他在1854年出版了Zur Theorie der Abelschen Functionen Ⓣ在Crelle 的日記中，這當然被注意到了。這篇論文沒有給出 Weierstrass 發展的超橢圓積分反演的完整理論，而是初步描述了他的方法，包括将阿貝爾函數表示為不斷收斂的幂級數。

有了這篇論文，魏爾斯特拉斯從默默無聞中脫穎而出。1854年3月31日，柯尼斯堡大學授予他名譽博士學位。在1855維爾斯特拉斯應用在布雷斯勞大學的椅子上留下的空缺時，庫默爾搬到柏林。庫默然而，試圖影響事情，讓魏爾斯特拉斯去柏林，而不是布雷斯勞，是以魏爾斯特拉斯沒有被任命。狄利克雷于1855 年寫給普魯士文化部長的一封信強烈支援魏爾斯特拉斯獲得大學任命。詳細資訊在[ 10 ]中給出。

維爾斯特拉斯被提升為布勞恩斯堡的進階講師後，獲得了一年的休假，緻力于進階數學研究。然而，他已經決定，他永遠不會回到學校教書。

Weierstrass 在他的下一篇論文Theorie der Abelschen Functionen 中 發表了他的超橢圓積分反演理論的完整版本Ⓣ1856 年在Crelle's Journal中。許多大學都為他提供了一個椅子。當奧地利的大學正在讨論這個前景時，柏林工業學院（後來的 Technische Hochschule ）提供了一個主席職位。雖然他更願意去柏林大學，但魏爾斯特拉斯當然不想回到布勞恩斯貝格的何塞恩學院，是以他于1856 年6 月14日接受了研究所的邀請。 繼續向魏爾斯特拉斯提出要約，以便他在1856 年9 月參加維也納會議時

他在他選擇的任何奧地利大學都獲得了一個席位。在他決定如何處理這個提議之前，柏林大學在 10 月份為他提供了教授職位。這是他一直想要的工作，他很快就接受了，盡管在今年早些時候接受了工業研究所的邀請後，他在幾年内未能正式擔任柏林大學教授。

Weierstrass 在數學方面的成功講座吸引了來自世界各地的學生。他的講座主題包括：-傅裡葉級數和積分在數學實體中的應用（1856 / 57），解析函數理論的介紹（他列出了他在1841 年但從未發表）、橢圓函數理論（他的主要研究課題）以及在幾何和力學問題中的應用。

在1859 / 60年的講座中，魏爾斯特拉斯首次介紹了分析的基礎。在1860 / 61 年，他講授了積分學。

我們在上面描述了 Weierstrass 從1850 年起遭受的健康問題。雖然他已經實作了他夢想的職位，但他的健康在1861年 12 月告吹當他徹底崩潰時。他花了大約一年的時間才恢複到可以再次講課，而且他永遠也無法完全恢複健康。從此他坐下講課，一個學生為他在黑闆上寫字。他在1850 年遭受的攻擊停止了，取而代之的是胸部問題。

在他1863 / 64 年關于解析函數的一般理論的課程中，魏爾斯特拉斯開始闡述他的實數理論。在他1863 年的演講中，他證明了複數是實數的唯一交換代數擴充。高斯在1831 年曾承諾要證明這一點，但未能給出證明。

在1872年他強調嚴謹使他發現一個功能，雖然連續的，必須在任何時候任何衍生物。嚴重依賴直覺進行發現的分析人員對這種違反直覺的功能感到相當沮喪。黎曼在1861 年曾建議可以找到這樣的函數，但他的例子在所有點上都是不可微的。

Weierstrass 的講座發展成為一門四學期的課程，他一直持續到1890 年。四門課程分别是

解析函數理論導論，

橢圓函數，

阿貝爾函數，

橢圓函數的變分或應用演算。

多年來，課程開發并出版了許多版本，例如Killing于1868 年所做的筆記和Hurwitz于1878 年所做的筆記。Weierstrass 的方法在今天仍然主導着教學分析，這從這些講座的内容和風格，特别是導論課程中可以清楚地看出。它的内容是：數、采用魏爾斯特拉斯幂級數方法的函數概念、連續性和可微性、解析延拓、奇點、幾個變量的解析函數，特别是魏爾斯特拉斯的“準備定理”和等高線積分。

在柏林，魏爾斯特拉斯有兩個同僚庫默和Kronecker和三人一起使柏林成為研究數學的領先大學。克羅内克多年來一直是魏爾斯特拉斯的密友，但在1877 年 克羅内克對康托爾工作的反對導緻兩人之間産生了裂痕。這變得非常糟糕，以至于在1885 年的某個階段，魏爾斯特拉斯決定離開柏林前往瑞士。然而，他改變了主意，留在了柏林。

大量學生從魏爾斯特拉斯的教學中受益。我們列舉了一些在我們檔案中其他地方提到的人：巴赫曼、博爾紮、康托爾、恩格爾、弗羅貝尼烏斯，蓋根堡，亨澤爾，赫爾德，赫爾維茨，殺戮，克萊恩，Kneser，Königsberger，勒奇，李群，Lüroth，梅爾滕斯，闵可夫斯基，米塔格-萊弗勒，内托，肖特基，施瓦茲和斯托爾茲。然而，特别值得一提的是一位學生。

在1870 柯瓦列夫斯卡娅來到柏林，魏爾斯特拉斯私下教她，因為她不被允許進入大學。顯然，就魏爾斯特拉斯而言，她是一個非常特别的學生，因為他寫信給她說：-

... 夢想并陶醉于我們有待解決的許多謎語，關于有限和無限空間，關于世界體系的穩定性，以及關于未來數學和實體學的所有其他主要問題。......你一直很親近......在我的整個生命中......我從來沒有找到任何人可以像你一樣讓我對科學的最高目标有如此了解，并與我的意圖和基本原則如此愉快地一緻。

正是通過魏爾斯特拉斯的努力，科瓦列夫斯卡娅獲得了哥廷根大學的榮譽博士學位，他還利用自己的影響力幫助她于1883 年在斯德哥爾摩獲得了這個職位。魏爾斯特拉斯和科瓦列夫斯卡娅在1871 年至1890年間通信了20年。交換了160 多封信件（見[ 5 ]、[ 7 ]等），但魏爾斯特拉斯在科瓦列夫斯卡娅死後燒毀了她的信件。 Weierstrass 設定的嚴格标準，例如，定義，

無理數作為收斂級數的極限，強烈影響了數學的未來。他還研究了全函數、一緻收斂的概念和無窮積定義的函數。他的努力在[ 2 ]中總結如下：-

被稱為現代分析之父的魏爾斯特拉斯設計了級數收斂性檢驗，并為周期函數、實變量函數、橢圓函數、阿貝爾函數、收斂無窮積和變分演算等理論做出了貢獻。他還提出了雙線性和二次形式的理論。

Weierstrass 發表的很少[ 1 ] :-

……因為他的批判意識總是迫使他将任何分析建立在堅實的基礎上，從新的方法開始，不斷地修改和擴充。

然而，他确實編輯了施泰納和雅各比的全集。他決定監督自己全集的出版，在他的情況下，這将涉及他的講座課程中大量未發表的材料，而維爾斯特拉斯意識到，如果沒有他的幫助，這将是一項艱巨的任務。前兩卷分别于1894 年和1895 年出版，是他1897 年去世前唯一出版的。他的最後幾年很艱難[ 1 ] :-

在他最後的三年裡，他被限制在輪椅上，不能動彈，不能自理。他死于肺炎。

他的全集的剩餘卷出現緩慢；體積3在1903年，卷4在1902，卷5和6在1915年，和體積7在1927年。7 卷在1967 年再版。今天繼續出版更多的作品，特别是他的講座課程的版本，這些版本取自參加講座的人所做的筆記。