作者：Kevin Hartnett 2021-9-9 譯者：zzllrr小樂 2021-9-19
邁克爾·弗裡德曼 (Michael Freedman) 1981 年對四維龐加萊猜想的重要證明瀕臨失傳。 一本新書的編輯正試圖挽救它。
最重要的數學知識之一瀕臨消失，也許永遠消失。現在，一本新書希望能拯救它。
圓盤嵌入定理（The Disc Embedding Theorem）是邁克爾·弗裡德曼 (Michael Freedman) 于 1981 年完成改寫的證明——關于無限的圓盤網絡——經過了多年在加利福尼亞海岸的孤獨辛勞。弗裡德曼的證明回答了一個問題，這個問題在當時是數學中最重要的未解決問題之一，也是弗裡德曼的領域拓撲學中的定義問題。
弗裡德曼的證明令人感覺很神奇。當時沒有人相信它可能奏效——直到弗裡德曼親自說服了該領域一些最受尊敬的人。但是，盡管他赢得了同時代人的青睐，但書面證明充滿了漏洞和遺漏，以至于除非你有弗裡德曼或從他那裡學到證明的人站在你的肩膀上指導你，否則無法緊跟其邏輯。
“我可能沒有按照我應該的那樣仔細對待書面材料的闡述，”弗裡德曼說，他今天上司着加州大學聖巴巴拉分校的微軟研究小組，專注于建構量子計算機。
是以，弗裡德曼證明的奇迹已經消失在神話中。
今天，很少有數學家了解他的所作所為，而那些了解他的人正在逐漸退出該領域。結果是涉及他的證明的研究枯萎了。幾乎沒有人得到主要結果，一些數學家甚至質疑它是否完全正确。
在 2012 年 MathOverflow 上的一篇文章中，一位評論者稱該證明是“一篇論文的怪物”，并表示他“從未見過一位數學家能讓我相信ta了解弗裡德曼的證明。”
新書是解決這種情況的最大努力。這是五位年輕研究人員的合作成果，他們被 Freedman 證明的美麗所吸引，并希望賦予它新的生命。它超過近 500 頁，使用清晰、一緻的術語完整詳細地闡述了弗裡德曼論證的步驟。目标是将這門重要但難以了解的數學變成一個有動力的大學生可以在一個學期内學習的東西。
“沒有什麼留給想象了，”波昂馬克斯普朗克數學研究所的 Arunima Ray 說，他與比勒費爾德大學的 Stefan Behrens、布達佩斯經濟技術大學的 Boldizsár Kalmár、南韓全南國立大學的 Hoon Kim 和英國杜倫大學的 Mark Powell 共同編輯了這本書。 “一切都已經确定了。”
排序球體
1974 年，邁克爾·弗裡德曼 (Michael Freedman) 23 歲，他着眼于拓撲學中最大的問題之一。拓撲學是研究空間或流形的基本特征的數學領域，正如數學家所稱。
它被稱為龐加萊猜想，以法國數學家亨利·龐加萊 (Henri Poincaré) 的名字命名，他于 1904 年提出該猜想。龐加萊預測，具有某些通用特征的任何形狀或流形都必須與球體等價或同胚。 （兩個流形是同胚的，當你可以将一個流形上的所有點映射到另一個上的點，同時保持點之間的相對距離，以便在第一個流形上靠得很近的點在第二個流形上仍然靠得很近。）
龐加萊專門考慮了三維流形，但數學家繼續考慮所有次元的流形。他們還想知道該猜想是否适用于兩種流形。第一種稱為“光滑”流形，沒有尖角等任何特征，可讓你在每個點進行微積分。第二種，被稱為“拓撲”流形，可以有不能進行微積分的角落。
當弗裡德曼開始研究這個問題時，數學家們已經在這個猜想上取得了很大進展，包括解決了它在 5 維及更高次元上的拓撲版本。
弗裡德曼專注于四維拓撲猜想。它指出，任何拓撲流形是四維“同倫”球體，它與四維球體松散等效，實際上與四維球體同胚（強等效）。
“我們要問的問題是，[對于四球體]，這兩種等效概念之間是否存在差異？”雷說。
四維版本可以說是龐加萊問題的最難版本。這部分是因為數學家用來解決更高次元猜想的工具在四維的更受限制的設定中不起作用。 （該問題最難版本的另一個競争者是三維龐加萊猜想，該猜想直到 2002 年才由 Grigori Perelman 解決。）
在弗裡德曼開始工作的時候，沒有人對如何解決這個問題有任何成熟的想法——這意味着如果他要成功，他将不得不發明全新的數學。
重要的曲線
在深入探讨他如何證明龐加萊猜想之前，值得深入研究一下問題的真正含義。
一個四維同倫球體可以通過它内部繪制的曲線互相作用的方式來表征：互相作用告訴你關于它們互相作用的更大空間的一些基本資訊。
在四維情況下，這些曲線将是二維平面（通常，這些曲線最多是它們在内部繪制的較大空間次元的一半）。要了解基本設定，可以考慮一個更簡單的示例，該示例涉及在二維空間内相交的一維曲線，如下所示：
這些曲線有一個叫做代數相交數的東西。要計算這個數字，從左到右計算，并為它們相交的每個弧線上升的地方配置設定一個 -1，并為它們相交的每個弧線下降的地方配置設定一個 +1。在這個例子中，最左邊的交點得到 -1，最右邊的交點得到 +1。将它們加在一起，你将得到這兩條曲線的代數交點數：0。
同倫球的特點是，在其内部繪制的任何一對一半次元曲線的代數交點數為 0。
對于正常球體也是如此。但是正常球體也有一個與相交相關的稍微不同的屬性：你總是可以繪制兩條曲線，這樣它們就不會彼此相交。是以，同倫球體具有一對曲線的代數交點數始終為 0 的特性，而正則球體具有這樣的特性：任意一對曲線都可以彼此分離，是以它們的幾何交點數為 0。也就是說，它們實際上根本不相交。
弗裡德曼為了證明四維龐加萊猜想，他需要證明總是可以取代數交點為 0 的特定曲線對并将它們“推開”彼此，使它們的幾何交點數仍然為 0。如果你有代數交點為 0 的曲線對，并且你證明你總是可以将它們分開，你證明它們嵌入的空間必須是規則球體。
“這就像這些半維子流形的社交距離，”雷說。
之前對該問題更高維版本的工作已經建立了一種方法來做到這一點。它涉及尋找稱為惠特尼圓盤（Whitney discs）的對象，它們是由你想要分離的曲線包圍的平面二維空間。
這些圓盤成為一種稱為同位素的數學過程的指南，在該過程中，你可以将兩條曲線互相遠離。這些平坦的惠特尼圓盤的存在確定可以逐漸将弧形曲線向下移動。當你這樣做時，圓盤開始消失，就像夕陽一樣。最終，圓盤完全消失，曲線已分離。
“惠特尼圓盤為你提供了合痕（isotopy）的路徑。你不斷移動一條曲線，直到兩條曲線分開。圓盤就像是這個過程的路線圖，”雷說。
當弗裡德曼面對四維龐加萊猜想時，他的主要任務是證明當你有一對代數交點為 0 的相交曲線時，這些平坦的惠特尼圓盤就存在。确定它是真實的将弗裡德曼帶到了難以想象的數學新高度.
解開圓盤
在弗裡德曼的工作中，他遇到了一個在四個次元上出現的特殊絆腳石。他需要證明總是可以分離相交的二維曲線——将它們互相推開——為此他必須建立惠特尼圓盤的存在，以確定分離是可能的。
問題在于，在四個次元中，二維惠特尼圓盤可以互相交叉，而不是平放。圓盤與自身相交的位置會阻礙一條曲線從另一條曲線滑下的過程。你可以将自相交視為一個障礙，當你試圖将其從另一條曲線拉開時，它會抓住你的一條曲線。
“圓盤本應幫助我，但事實證明圓盤也與自身相交，”雷說。
是以，弗裡德曼需要證明，始終可以取消惠特尼圓盤相交的位置，将它們放平，然後繼續分離。對他來說幸運的是，他不會從頭開始。 1970 年代，一位名叫 Andrew Casson 的數學家提出了一種消除圓盤自交的政策。
圓盤的重點是确定可以将曲線分開以使它們不相交。如果一個圓盤本身包含一個交叉點，緩解它的方法是相同的：尋找以第一個圓盤的交叉部分為界的第二個圓盤。如果你找到第二個圓盤，你就知道可以消除第一個圓盤中的交叉點。
好的，但是如果第二個圓盤（幫助第一個圓盤）也與自己相交怎麼辦？然後你尋找包含在第二張圓盤中的第三張圓盤。然而，那個圓盤也可能與自己相交，是以你尋找第四個圓盤，這個過程一直持續下去，在圓盤内産生無限疊的圓盤——所有的圓盤都豎立起來，希望能一直确定原始圓盤在底部，可以使其不相交。
Casson 确定這些“Casson 搖桿”大緻相當于實際的惠特尼圓盤——更準确地說是同倫等價——他用這種等價性研究了四維拓撲中的許多重要問題。但他無法證明卡森搖桿在更強的意義上等同于圓盤——它們同胚于圓盤。這種更強的等價性正是數學家需要的，以便使用搖桿來證明最大的懸而未決的問題。
雷說：“如果我們證明這些是真正的誠實圓盤，我們就可以證明龐加萊猜想和第四維中的一大堆其他東西。” “但是 [Casson] 做不到。”
弗裡德曼的洞察力
從 1974 年到 1981 年，弗裡德曼花了七年時間，做到了。大部分時間裡，他幾乎沒有和任何人談論他的工作，除了他的年長同僚羅伯特·愛德華茲，他是一位導師。
“他在[聖地亞哥]把自己關了七年來思考這個問題。馬克斯·普朗克數學研究所的彼得·泰希納 (Peter Teichner) 說：“他在想辦法的過程中并沒有與其他人進行太多互動。”
現在在加州大學伯克利分校的 Robion Kirby 是最早了解 Freedman 證明的數學家之一。為了評估主要數學結果的重要性，柯比試圖想象在其他人提出之前需要多長時間，按照這個标準，弗裡德曼的證明是柯比在他漫長的職業生涯中看到的最驚人的結果。
“如果他沒有這樣做，我無法想象誰能做到，我不知道多久，”柯比說。
弗裡德曼需要證明卡森搖桿與平坦的惠特尼圓盤等價：如果你有一個卡森搖桿，你就有一個惠特尼圓盤，如果你有一個惠特尼圓盤，你可以分離曲線，如果你可以分離曲線，你已經确定同倫球與實際球同胚。
他的政策是證明你可以用同一組零件建造兩個物體——卡森搖桿和平坦的惠特尼圓盤。這個想法是，如果你可以用相同的部分建構兩個東西，它們在某種意義上必須是等效的。 Freedman 開始了建造過程并取得了相當大的進展：他幾乎可以用相同的元件建造幾乎所有的 Casson 搖桿和幾乎所有的圓盤。
但有些地方他不能完全完成畫面——就像他在創作一幅肖像一樣，他看不到拍攝對象臉上的某些方面。那麼，他的最後一步是證明他照片中的那些空白——他看不到的地方——從他所追求的等價類型的角度來看并不重要。也就是說，圖檔中的間隙不可能阻止 Casson 搖桿與圓盤同胚，無論它們包含什麼。
“我有兩個拼圖，100 塊中有 99 塊比對。這些剩餘的東西真的改變了我的空間嗎？弗裡德曼證明他們不是，”雷說。
為了完成這最後一步，弗裡德曼借鑒了數學界稱為 Bing 拓撲的技術，以數學家 R.H. Bing 的名字命名，後者在 1940 年代和 50 年代開發了它。但他将它們應用在一個全新的環境中，得出了一個看似荒謬的結論——最終，差距并不重要。
柯比說：“這就是證明如此引人注目的原因，也使得其他人不太可能找到它。”
弗裡德曼在 1981 年夏天完成了他的證明大綱。不久之後，最終将其置于數學記憶中的因素變得顯而易見。
傳播新聞
那年 8 月，弗裡德曼在加州大學聖地亞哥分校的一次小型會議上宣布了他的證明。大約有 10 位最受尊敬的數學家參加了會議，他們最有可能了解弗裡德曼的工作。
在活動開始之前，他寄出了一份 20 頁的手寫手稿副本，概述了他的證明。在會議的第二天晚上，弗裡德曼開始展示他的作品。他一次講不完，是以他的談話一直延續到第二天晚上。當他說完時，他的小觀衆都感到困惑——弗裡德曼的導師愛德華茲就是其中之一。在 2019 年的對過程的采訪中，愛德華茲回憶了得到弗裡德曼的演講時的震驚和懷疑。
“我認為可以公平地說，觀衆中的每個人都發現他的演講令人難以置信且難以了解，認為他的想法是愚蠢和瘋狂的，”愛德華茲說。
弗裡德曼的證明在很大程度上似乎不太可能，因為它并沒有真正充實。他對證明應該如何進行有一個想法，并且有一種強烈的、幾乎是超自然的直覺，即這種方法會奏效。但他并沒有真正做到這一點。
“我無法想象邁克在細節上如此搖擺不定的情況下，他怎麼有勇氣宣布一個證明，”也參加了會議的柯比說。
但後來，幾位數學家留下來與弗裡德曼交談。至少，潛在結果的重要性似乎值得。經過兩天的交談，愛德華茲對弗裡德曼試圖做的事情有足夠的了解來評估它是否真的有效。在會議結束後的第一個星期六早上，他意識到确實如此。
“[愛德華茲] 說，‘我是第一個真正知道這是真的，’”柯比說。
一旦愛德華茲被說服，他就會幫助說服其他人。在某種程度上，這就足夠了。沒有進階數學委員會正式證明結果是正确的。接受新陳述的實際過程更為非正式，依賴于應該最了解的數學界成員的同意。
“數學中的真理意味着你讓專家相信你的證明是正确的。然後它就變成了現實，”泰希納說。 “弗裡德曼說服了所有專家，他的證明是正确的。”
但這本身并不足以通過該領域公布結果。為此，弗裡德曼需要一份書面聲明，證明從未見過他的人可以自行閱讀和學習。而那是他從未做出過的。
繼續
弗裡德曼向《微分幾何雜志》送出了他的證明大綱——這是他真正擁有的一切。該雜志的編輯丘成桐在決定是否發表之前将其配置設定給外部專家進行審查——這是所有學術出版的标準保障。但他配置設定給它的人幾乎不是一個客觀的專家：羅伯特愛德華茲。
審查仍然需要時間。證明本身有 50 頁長，愛德華茲發現他正在為證明的每一頁寫一頁密集的數學筆記。幾周過去了，期刊的編輯們變得焦躁不安。愛德華茲定期接到期刊秘書的電話，詢問他是否對證明的合法性做出了判斷。在 2019 年的同一次采訪中，愛德華茲解釋說，最後，他告訴雜志證明是正确的，盡管他知道他沒有時間完全檢查出來。
“下次秘書打電話給我時，我說‘是的，論文是正确的，我向你保證。但我不能很快生成一份合适的裁判報告。'是以他們決定接受并按原樣釋出，“他說。
這篇論文發表于 1982 年。它包含錯别字和拼寫錯誤，實際上仍然是弗裡德曼完成工作後散發的大綱。任何試圖閱讀它的人都需要自己填寫這個全新論點的許多步驟。
所發表文章的局限性立即顯現出來，但沒有人站出來解決這些問題。弗裡德曼轉而從事其他工作，不再講授他的龐加萊證明。差不多十年後，在 1990 年，出現了一本書，試圖提供更易于了解的證明版本。它是由弗裡德曼和弗蘭克奎因（Frank Quinn）撰寫的，現在在弗吉尼亞理工學院和州立大學，盡管它主要是由奎因撰寫的。
書的版本幾乎沒有可讀性。它假設讀者為本書帶來了一定數量的背景知識，而這些知識實際上幾乎沒有人擁有。沒有辦法閱讀它并從頭開始學習證明。
“如果你有幸和那些了解證明的人在一起，你仍然可以學習它，”泰希納（Teichner）說。 “但是回到[書面]來源的人意識到他們不能。”
幾十年來，這就是事情一直存在的地方：數學史上最驚人的成果之一被少數人知道，而其他人卻無法獲得。
數學界的其他人可能會像弗裡德曼一樣繼續前進，但他的證明太重要了，不能完全忽視。是以，社群适應了這種奇怪的情況。許多研究人員采用弗裡德曼的證明作為黑匣子。如果你假設他的證明是正确的，你可以證明很多關于四維流形的其他定理，很多數學家都做到了。
鮑威爾說：“如果你隻是接受它是真實的，你就可以以多種方式去使用它。” “但這并不意味着你想憑信心接受一切。”
随着時間的推移，随着年輕的研究人員進入數學領域并可以選擇在他們想要的任何領域工作，選擇研究證明的人越來越少。
弗裡德曼明白了。 “在一個你不了解基本定理的領域工作并不是那麼令人滿意，”他說。 “基本上，40歲以下的人都不知道證明的情況出現了，這點資訊最終可能會丢失，這有點可怕。”
正是在這一點上，泰希納——他在 1990 年代初期從弗裡德曼本人那裡得知了這個證明——決定發起一項救援任務。他想建立一個文本，讓任何有資格的人都可以自己學習證明。
“我決定是時候寫一些你能了解的東西了，”他說。
未來證明的弗裡德曼
泰希納首先直接回到源頭。 2013 年，他要求弗裡德曼在馬克斯普朗克研究所的一個學期内進行一系列講座，描述證明——這是他 30 年前發表的演講的現代版本，以宣布結果。弗裡德曼急切地同意了。
“他肯定擔心它會丢失。這就是他如此支援的原因，”泰希納說。
早在 1981 年，弗裡德曼就曾向該領域的幾位資深人士講過課——他需要赢得這些專家。這一次，他的聽衆是泰希納召集的 50 名年輕數學家來接過接力棒。弗裡德曼在他位于聖巴巴拉的辦公室通過視訊提供的講座是拓撲世界中的一件大事。
“在我的機構裡，我們曾經在周五下午舉行弗裡德曼講座，我們會在那裡喝啤酒，看他談論他的證明，”雷說，他當時是休斯頓萊斯大學的研究所學生。
講座結束後，數學家斯特凡·貝倫斯 (Stefan Behrens) 努力将弗裡德曼的評論轉化為更正式的講義。幾年後的 2016 年，鮑威爾和包括貝倫斯在内的其他數學家根據這些筆記發表了一系列新的講座，繼續将弗裡德曼的工作轉化為更持久的東西。
“馬克講課，我們開始在這些講義中填寫越來越多的細節，然後就從那裡開始，”雷說。
在接下來的五年裡，鮑威爾、雷和他們的三位共同編輯組織了一個數學家團隊，将弗裡德曼的證明變成了一本書。最終産品于 7 月釋出，将近 500 頁，包括來自 20 位不同作者的貢獻。弗裡德曼希望這本書能夠重振他革命性的數學領域的研究。
Mark Powell 和 Arunima Ray 建立了 Freedman 證明的新書長度版本，因為他們想自己了解它——并與新一代數學家分享它。
維多利亞·格林納；斯蒂芬·弗裡德爾 提供
“我認為這本書來得正是時候。人們正在以全新的眼光看待四維流形，”他說。
這本書在幾個方面改進了弗裡德曼證明的書面陳述。在寫這本書時，作者發現弗裡德曼用來證明原始期刊文章中不同定理的論證中存在一些錯誤。這本書修複了這些。它還全面介紹了 Bing 拓撲，這是弗裡德曼用來證明他的卡森搖桿和惠特尼圓盤結構中的差距無關緊要的數學領域。總而言之，這本書旨在具有教學性且易于了解。前面的章節提供了證明的大綱，後面的章節會填寫細節。
“先有摘要，然後是更詳細的摘要，然後是完整的細節，這應該使它具有可讀性，”鮑威爾說。 “在獲得所有細節之前，你可以了解将要發生的事情的大局。但我們仍然掌握所有細節。”
編輯們希望将弗裡德曼的強大技術推回到數學思維的主流。本書的第三部分詳細介紹了四維拓撲中最大的開放問題，研究人員一旦掌握了弗裡德曼的證明知識，就可能會處理這些問題。
“這本書的這一部分與弗裡德曼原創作品的證明完全無關，”雷說。 “它讨論了如何使用它來做接下來的事情。”
并且，參與該書的幾位數學家已經根據弗裡德曼的想法進行了新的研究。 2013 年在本書過程開始時發表的一篇論文發現了 Bing 拓撲中以前處于休眠狀态的技術的一些新用途。另一個，來自去年，使用編輯們在組裝這本書時學到的想法來解決一個四維流形中有關結（knot）的“手術”的問題。
“它現在正在向前發展，因為他們很習慣使用圓盤嵌入定理，”Teichner 說。
這本書在數學領域内起到了輔助作用，甚至可能是必不可少的。但編輯們表示，他們的動機不僅僅是為了實作這個長期項目的實際目的。當他們開始工作時，弗裡德曼的證明很漂亮，但很隐蔽。現在，它終于全面展示了。
更正：2021 年 9 月 10 日
弗裡德曼在加州大學聖地亞哥分校宣布了他的證明，而不是在聖地亞哥大學。文章做了相應的修改。描繪相交曲線的圖形也進行了修改，以更準确地反映文章的内容。