半個多世紀以來，非周期性密鋪一直吸引着數學家、業餘愛好者以及許多其他領域的研究人員。現在，兩個實體學家發現了非周期性密鋪與計算機科學中看似不相關的一個分支之間的聯系：研究未來量子計算機如何編碼資訊以保護其免于錯誤。他們展示了如何将彭羅斯密鋪轉化為一種全新的量子糾錯碼，還基于其他兩種非周期性密鋪建構了類似的糾錯碼。
編譯 | 王慶法
兩位研究人員證明了彭羅斯密鋪（Penrose Tilings），這種永不重複的著名圖案，在數學上相當于一種量子糾錯方法。
如果你想給浴室地闆鋪瓷磚，正方形瓷磚是最簡單的選擇——它們能夠以網格模式無縫拼接，并且可以無限延伸。這種正方形網格具有許多密鋪共同的特性：将整個網格按固定量移動，結果産生的圖案與原始圖案無法區分。但是對許多數學家來說，這樣的“周期性”密鋪是無聊的。如果你見過一個小塊區域，就等于已經見過全部。
在20世紀60年代，數學家們開始研究具有更豐富行為的“非周期性”密鋪集。也許最著名的是在20世紀70年代由多才多藝的實體學家、未來諾貝爾獎得主羅傑·彭羅斯發現的一對菱形密鋪。這兩塊密鋪的副本可以形成無限多不同的圖案，可以永遠持續下去，稱為彭羅斯密鋪。然而，無論你如何排列密鋪，你都不會得到周期性重複的圖案。
“這些是本不應該存在的圖形，”布裡斯托大學的實體學家尼古拉斯·布魯克曼說道。
半個多世紀以來，非周期性密鋪一直吸引着數學家、業餘愛好者以及許多其他領域的研究人員。現在，兩個實體學家發現了非周期性密鋪與計算機科學中看似不相關的一個分支之間的聯系：研究未來量子計算機如何編碼資訊以保護其免于錯誤。2023年11月釋出在預印本伺服器arxiv.org上的一篇論文[1]中，研究人員展示了如何将彭羅斯密鋪轉化為一種全新的量子糾錯碼。他們還基于其他兩種非周期性密鋪建構了類似的糾錯碼。
這兩者之間的對應關系的核心是一個簡單的觀察：在非周期性密鋪和量子糾錯碼中，了解大型系統的一小部分對整個系統的了解毫無幫助。（譯者注：類比思維的力量 ）
“這似乎是事後看起來顯而易見的美妙之處，”倫敦大學學院的量子資訊研究員托比·庫比特說道。“你會想，‘為什麼我沒想到呢？’”
“奇怪的”知識
普通計算機使用具有兩種不同狀态的比特表示資訊，标記為0和1。量子比特或量子位也有兩種狀态，但它們還可以被引導進入所謂的疊加态，其中0和1狀态共存。通過利用涉及多個量子位的更複雜的疊加态，量子計算機可以比任何傳統機器更快地執行某些計算。
然而，量子疊加态是敏感的怪物。測量疊加态中的量子位，它将塌縮到0或1，抹除任何正在進行的計算。更糟糕的是，由于量子位與其環境之間微弱的互相作用而産生的錯誤，可能産生對測量的破壞性影響。任何以錯誤方式與觸碰量子位的事物，無論是好奇的研究人員還是離群的光子，都可能破壞計算。
彭羅斯腳下的瓷磚
這種極度脆弱性可能使量子計算聽起來沒有希望。但在1995年，應用數學家彼得·肖爾發現了一種巧妙的方法來存儲量子資訊。他的編碼具有兩個關鍵屬性。首先，它可以容忍隻影響單個量子位的錯誤。其次，它附帶了一種糾正錯誤的程式，防止它們堆積并使計算脫軌。肖爾的發現是第一個量子糾錯碼的例子，它的兩個關鍵屬性是所有此類代碼的決定性特征。
第一個特性源自一個簡單的原則：秘密資訊在被分割後會更不易受影響。間諜網絡采用了類似的政策。每個間諜對整個網絡的了解都很少，是以即使任何個體被捕，組織仍然安全。量子糾錯碼将這種邏輯發揮到極緻。在一個量子間諜網絡中，沒有單個間諜會知道任何東西，但它們在一起會知道很多。
每個量子糾錯碼都是一種特定的方案，将量子資訊分布在許多量子位中，形成一個集體疊加态。這種程式有效地将一組實體量子位轉化為單個虛拟量子位。多次重複這個過程，使用大量量子位，你會得到許多虛拟量子位，可以用于執行計算。
組成每個虛拟量子位的實體量子位就像那些不知情的量子間諜。測量其中任何一個，你都不會了解它所屬的虛拟量子位的狀态——這是一種被稱為局部不可區分性（local indistinguishability）的屬性。由于每個實體量子位都不編碼任何資訊，單個量子位的錯誤不會破壞計算。重要的資訊以某種方式無處不在，但又不在任何特定地方。
“你不能将它歸結到任何一個單獨的量子位，”庫比特說道。
所有量子糾錯碼都可以吸收至少一個錯誤，而不會對編碼的資訊産生任何影響，但它們最終會随着錯誤的積累而淪陷。這就是量子糾錯碼的第二個特性——實際的錯誤糾正發揮作用的地方。這與局部不可區分性密切相關：由于單個量子位中的錯誤不會破壞任何資訊，總是可以使用每個糾錯碼特定的既定程式來逆轉任何錯誤。
乘車兜風
加拿大滑鐵盧大學的理論實體學Perimeter研究所的博士後李智對量子糾錯理論十分精通。但當他與同僚博伊爾（Latham Boyle）交談時，這個主題離他的思考還很遠。那是2022年秋天，兩位實體學家在從滑鐵盧到多倫多的夜間穿梭巴士上交談。博伊爾是一位擅長非周期性密鋪的專家，當時住在多倫多，現在在愛丁堡大學。在這些穿梭巴士行程中，他是一個熟悉的面孔，這些巴士常常會陷入交通堵塞。
“通常情況下，擁堵可能非常難熬，”博伊爾說道，“這一次是所有時間中最棒的一次。”
在那個決定性的夜晚之前，李智和博伊爾彼此了解對方的工作，但他們的研究領域并不直接重疊，他們從未進行過一對一的對話。但與無數其他領域的研究人員一樣，李智對非周期性密鋪感到好奇。“很難不對它感興趣，”他說。
當博伊爾提到非周期性密鋪的一個特殊屬性——局部不可區分性時，興趣變成了迷戀。在這個背景下，這個術語意味着不同的東西。同一套密鋪可以形成無數個看起來完全不同的密鋪，但通過檢查任何局部區域，不可能區分任何兩個密鋪。這是因為任何密鋪的有限的小塊區域，無論多大，都會在其他密鋪中某處出現。
“如果我讓你在一個密鋪中或另一個密鋪中停下來，并讓你用一生的時間去探索，你永遠也不會知道我讓你停在哪個密鋪，”博伊爾說道。
對李智來說，這看起來和量子糾錯中的局部不可區分性的定義非常相似。他提到了這個連接配接，博伊爾立刻被吸引了。兩者之間的數學基礎是非常不同的，但這種相似之處令人着迷，不容忽視。
李智和博伊爾想知道他們是否可以通過基于一類非周期性密鋪建構量子糾錯碼，來在這兩個局部不可區分性的定義之間建立更精确的聯系。他們在整個兩個小時的穿梭巴士旅程中繼續讨論，到了多倫多，他們确定這樣的代碼是可能的——隻需建構一個正式的證明。（譯者注：這就是大模型學習了各種範疇關系之後的可怕之處，畢竟範疇就是關系，關系的關系，關系的關系的關系。）
量子密鋪
李智和博伊爾決定從彭羅斯密鋪開始，這種密鋪簡單且熟悉。要将它們轉化為量子糾錯碼，他們首先需要定義在這個不尋常的系統中量子态和錯誤會是什麼樣子。這部分很容易。用彭羅斯密鋪覆寫的無限二維平面，如同量子位網格，可以使用量子實體學的數學架構進行描述：量子态是特定的密鋪而不是0和1。一個錯誤簡單地删除了密鋪模式的一塊區域，就像量子位陣列中的某些錯誤會抹去小叢集中每個量子位的狀态。
下一步是識别不會受到局部錯誤影響的密鋪配置，就像普通量子糾錯碼中的虛拟量子位狀态一樣。解決方法與普通糾錯碼中的方法一樣，是使用疊加态。精心選擇的彭羅斯密鋪疊加态類似于世界上最優柔寡斷的室内設計師提出的浴室瓷磚排列。即使那種混亂藍圖的一部分缺失了，也不會洩露任何關于整個平面布局的資訊。
為了讓這種方法奏效，李智和博伊爾首先必須區分不同彭羅斯密鋪之間的兩種定性不同的關系。給定任何一個密鋪，你可以通過在任意方向上平移或旋轉它來生成無限數量的新密鋪。通過這種方式生成的所有密鋪的集合被稱為等價類。
但并不是所有的彭羅斯密鋪都屬于同一等價類。一個等價類中的密鋪無法通過任何組合的旋轉和平移轉化為另一個類中的密鋪——這兩個無限的模式在定性上是不同的，但仍然在局部上不可區分。
通過建立這一差別，李智和博伊爾終于可以建構一個糾錯碼了。回顧一下，在普通量子糾錯碼中，一個虛拟量子位是以實體量子位的疊加态編碼的。在他們基于密鋪的糾錯碼中，類似的狀态是單個等價類内所有密鋪的疊加态。如果平面以這種疊加态鋪設，可以在不暴露整體量子态資訊的情況下填補空隙。
“彭羅斯密鋪在量子計算機發明之前就不知何故了解了量子糾錯，”博伊爾說道。
李智和博伊爾在巴士旅程中的直覺是正确的。在深層次上，這兩個局部不可區分性的定義本身是不可區分的。
找到模式
盡管在數學上定義明确，李智和博伊爾的新糾錯碼幾乎不可行。彭羅斯密鋪中的密鋪邊緣不是以規則的間隔出現的，是以指定它們的分布需要連續的實數而不是離散的整數。而另一方面，量子計算機通常使用離散系統，如量子位網格。更糟糕的是，彭羅斯密鋪在無限平面上局部不可區分，這在有限的現實世界中并不适用。
博伊爾與李智一起基于非周期性密鋪建構了量子糾錯碼
“這是一種非常奇妙的聯系，”代爾夫特理工大學的量子計算研究員芭芭拉·特哈爾說道。“但實際一點也是好的。”
李智和博伊爾已經在這方面邁出了一步，通過建構另外兩種基于密鋪的糾錯碼，其中一種量子系統在一個案例中是有限的，另一個案例中是離散的。離散糾錯碼也可以變得有限，但其他挑戰依然存在。這兩種有限糾錯碼隻能糾正聚集在一起的錯誤，而最流行的量子糾錯碼可以處理随機分布的錯誤。尚不清楚這是基于密鋪的代碼的固有限制，還是可以通過更巧妙的設計來規避。
“還有許多後續工作可以進行，”布裡斯托大學的實體學家費利克斯·弗利克說道。“所有好的論文都應該這樣。”
需要更深入了解的不僅僅是技術細節——新的發現也引發了更多基本問題。一個明顯的下一步是确定其他哪些密鋪也可以用作糾錯碼。就在去年，數學家們發現了一族的非周期性密鋪，每一個都隻使用一種密鋪。“看看這些最新的發展可能如何與量子糾錯問題相聯系，将會非常有趣，”彭羅斯在一封電子郵件中寫道。
另一個方向是探索量子糾錯碼與某些量子引力模型之間的聯系。在2020年的一篇論文中，博伊爾、弗利克和已故的馬德琳·迪更斯展示了非周期性密鋪在這些模型的時空幾何中出現。但這種聯系源自密鋪的一個在李智和博伊爾的工作中不起作用的屬性。似乎量子引力、量子糾錯和非周期性密鋪是一個謎題的不同部分，研究人員剛剛開始了解它們的輪廓。與非周期性密鋪本身一樣，弄清這些部分如何組合在一起可能非常微妙。
“這些不同僚物之間有深厚的根基，”弗利克說道。“這一系列誘人的聯系正等待被弄清楚。”
參考文獻
[1] https://arxiv.org/abs/2311.13040
本文經授權轉載自微信公衆号“清熙”，原文譯自
https://www.quantamagazine.org/never-repeating-tiles-can-safeguard-quantum-information-20240223/
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